離散型確率分布

離散型確率変数 $3$\displaystyle{X}$ について

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{x}_{i} $ =P $ X=\hspace{1}{x}_{i} $ }$ $3$\displaystyle{ $ i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n $ }$

により定まる関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ を確率変数 $3$\displaystyle{X}$ の確率関数（あるいは確率分布）という

■定理

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{x}_{n}}$ の値をとる離散型確率変数 $3$\displaystyle{X}$ の確率関数を $3$\displaystyle{ f $x$ }$ とするとき，以下の式が成り立つ．

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{x}_{i} $ \geq 0}$ $3$\displaystyle{ $ i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n $ }$

確率は $3$0$ 以上の値になるので，上式が成り立つ．
$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} f $ \hspace{1}{x}_{i} $ =1 }$

各確率変数 $3$X$ に対する確率の総和は $3$1$ になる．
$3$\displaystyle{P $ a\leq X\leq b $ ={\sum }\limits_{ a\leq \hspace{1}{x}_{i}\leq b } f $ \hspace{1}{x}_{i} $ }$

■事例

●事例1

サイコロを振った時の各目のでる確率を以下に示す．確率変数 $3$X$ はサイコロの目の数とする．

$3$\displaystyle{ f\left({1}\right)=P\left({ X=1 }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ f\left({2}\right)=P\left({ X=2 }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ f\left({3}\right)=P\left({ X=3 }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ f\left({4}\right)=P\left({ X=4 }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ f\left({5}\right)=P\left({ X=5 }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ f\left({6}\right)=P\left({ X=6 }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} f\left({i}\right) }}$ $3$\displaystyle{=f\left({1}\right)+f\left({2}\right)+f\left({3}\right)+f\left({4}\right)+f\left({5}\right)+f\left({6}\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=1}$

$3$\displaystyle{P\left({ 1\leq X\leq 3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ 1\leq i\leq 3 } f\left({i}\right) }}$ $3$\displaystyle{=f\left({1}\right)+f\left({2}\right)+f\left({3}\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

●事例2

2つのサイコロを振った時の出た目の和を確率変数 $3$X$ とする．

確率変数 $3$X$ は

$3$X=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$

となる.各確率変数 $3$X$ の値の場合の数(サイコロのでた目の組)を書き出すと

$3$X=2$ のとき： $3$\left({ 1,1 }\right)$

$3$X=3$ のとき： $3$\left({ 1,2 }\right)$ $3$\left({ 2,1 }\right)$

$3$X=4$ のとき： $3$\left({ 1,3 }\right)$ $3$\left({ 2,2 }\right)$ $3$\left({ 3,1 }\right)$

$3$X=5$ のとき： $3$\left({ 1,4 }\right)$ $3$\left({ 2,3 }\right)$ $3$\left({ 3,2 }\right)$ $3$\left({ 4,1 }\right)$

$3$X=6$ のとき： $3$\left({ 1,5 }\right)$ $3$\left({ 2,4 }\right)$ $3$\left({ 3,3 }\right)$ $3$\left({ 4,2 }\right)$ $3$\left({ 5,1 }\right)$

$3$X=7$ のとき： $3$\left({ 1,6 }\right)$ $3$\left({ 2,5 }\right)$ $3$\left({ 3,4 }\right)$ $3$\left({ 4,3 }\right)$ $3$\left({ 5,2 }\right)$ $3$\left({ 6,1 }\right)$

$3$X=8$ のとき： $3$\left({ 2,6 }\right)$ $3$\left({ 3,5 }\right)$ $3$\left({ 4,4 }\right)$ $3$\left({ 5,3 }\right)$ $3$\left({ 6,2 }\right)$

$3$X=9$ のとき： $3$\left({ 3,6 }\right)$ $3$\left({ 4,5 }\right)$ $3$\left({ 5,4 }\right)$ $3$\left({ 6,3 }\right)$

$3$X=10$ のとき： $3$\left({ 4,6 }\right)$ $3$\left({ 5,5 }\right)$ $3$\left({ 6,4 }\right)$

$3$X=11$ のとき： $3$\left({ 5,6 }\right)$ $3$\left({ 6,5 }\right)$

$3$X=12$ のとき： $3$\left({ 6,6 }\right)$

となる．よって，各確率変数 $3$X$ の値の確率は

$3$f\left({2}\right)=P\left({ X=2 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({3}\right)=P\left({ X=3 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 18 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({4}\right)=P\left({ X=4 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({5}\right)=P\left({ X=5 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 9 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({6}\right)=P\left({ X=6 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({7}\right)=P\left({ X=7 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 6 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({8}\right)=P\left({ X=8 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({9}\right)=P\left({ X=9 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 9 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({10}\right)=P\left({ X=10 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({11}\right)=P\left({ X=11 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 18 \hspace{2}}}$ ， $3$f\left({12}\right)=P\left({ X=12 }\right)=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}}}$

となる．確率関数のグラフは以下の図のようになる.

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最終更新日： 2025年4月27日