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回帰分析

■回帰直線と決定係数

■定理

n個の対 $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{i} $ $ i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n $ }$ に対し

$3$\displaystyle{\triangle ={\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \{ \hspace{1}{y}_{i}- $ a\hspace{1}{x}_{i}+b $ \} }^{2} }$

の値を最小にする $3$a$ ， $3$b$ は

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{ xy } \hspace{2}}{\hspace{2} S_{x}^{2} \hspace{2}},b=\bar{y}- a\bar{x}}$

である．

■定義1

$3$n$ 個の対応のあるデータ $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{i} $ }$ $3$\displaystyle{ $ i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n $ }$ に対し,直線

$3$\displaystyle{y=ax+b,a=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{ xy } \hspace{2}}{\hspace{2} S_{x}^{2} \hspace{2}},b=\bar{y}- a\bar{x}}$

をそのデータの（ $3$y$ の $3$x$ に関する）回帰直線といい,係数 $3$a$ ， $3$b$ を回帰係数という．

■定義2

対になった2変量のデータ $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{i} $ $ i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n $ }$ の
相関係数を $3$\displaystyle{{\gamma}}$ とするとき, $3$\displaystyle{{{\gamma}}^{2}}$ を回帰直線の決定係数という．

■回帰係数の区間推定と検定

■定理

母回帰係数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{0},\hspace{1}{b}_{0}}$ をもつ2変量の母集団からの標本

$3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{Y}_{1} $ , $ \hspace{1}{x}_{2},\hspace{1}{Y}_{2} $ ,\cdot \cdot \cdot , $ \hspace{1}{x}_{n},\hspace{1}{Y}_{n} $ }$

について,

$3$\displaystyle{\hspace{1}{T}_{a}=\frac{\hspace{2} A- \hspace{1}{a}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{a} \hspace{2}},\hspace{1}{T}_{b}=\frac{\hspace{2} B- \hspace{1}{b}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{S}_{b} \hspace{2}}}$

はともに自由度 $3$\displaystyle{ $ n- 2 $ }$ の $3$t$ 分布に従う．

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最終更新日： 2024年4月9日