相関係数の式の導出

変量 $3$x$ ， $3$y$ の相関係数は

$3$\displaystyle{r=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{ xy } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{x}\hspace{1}{{\sigma}}_{y} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} $ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} $ $ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} $ }$ （ $3$x$ ， $3$y$ の共分散）

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{x}=\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }^{2} }}$ （ $3$x$ の標準偏差）

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{y}=\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }^{2} }}$ （ $3$y$ の標準偏差）

である．

■相関係数の式の導出

2種類の変量の間の関係を示す相関図において，点がある直線の近くに集まるとき，2種類の変量の間には相関があるという．

2種類の変量 $3$x$ と $3$y$ を標準化した

$3$\displaystyle{\hspace{1}{u}_{i}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{x} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{i}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{y} \hspace{2}}}$

の相関の程度を以下のようにして調べることにする．標準化するのは数式の取り扱いを簡単なするためである．2種類の変量 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{u}_{i} }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{v}_{i} }$ の相関図の点は， $3$\displaystyle{ v=au+b }$ で表される直線の近くに集まる傾向があると仮定する．この直線と，実際の変量との差の2乗和 $3$\displaystyle{ {{\Delta}}^{2} }$

$3$\displaystyle{ {{\Delta}}^{2}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} d_{i}^{2} }=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \{ \hspace{1}{v}_{i}- $ a\hspace{1}{u}_{i}+b $ \} }^{2} } }$

を計算してみる．(参考：最小ニ乗法)

$3$\displaystyle{ {{\Delta}}^{2} }$ の値が大きいと多くの変量が直線から離れており相関が弱く， $3$\displaystyle{ {{\Delta}}^{2} }$ の値が小さいと変量が直線の近くに集まっており相関が強いと判断できる．

$3$\displaystyle{ {{\Delta}}^{2}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} d_{i}^{2} }=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \{ \hspace{1}{v}_{i}- $ a\hspace{1}{u}_{i}+b $ \} }^{2} } }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \{ v_{i}^{2}- 2\hspace{1}{v}_{i} $ a\hspace{1}{u}_{i}+b $ +{ $ a\hspace{1}{u}_{i}+b $ }^{2} \} } }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} $ v_{i}^{2}- 2\hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i}a- 2\hspace{1}{v}_{i}b+u_{i}^{2}{a}^{2}+2\hspace{1}{u}_{i}ab+{b}^{2} $ } }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}v_{i}^{2}}- 2 $\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} }$ a- 2 $\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{v}_{i}}$ b }$ $3$\displaystyle{ + $\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}u_{i}^{2}}$ {a}^{2} }$ $3$\displaystyle{ +2 $\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{u}_{i}}$ ab }$ $3$\displaystyle{ + $\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}1}$ {b}^{2} }$

$3$\displaystyle{ =n- 2 $ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ a- 0+n{a}^{2}+0+n{b}^{2} }$

∵　 $3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{u}_{i}=0}$ ， $3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{v}_{i}=0}$ ， $3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}u_{i}^{2}=1}$ ， $3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}v_{i}^{2}=1}$

$3$\displaystyle{ =n{a}^{2}- 2\left({ {\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} }\right)a+n{b}^{2}+n }$

$3$\displaystyle{a}$ と $3$\displaystyle{b}$ の2次関数となっている．この関数を $3$\displaystyle{a}$ , $3$\displaystyle{b}$ の順に平方完成する．

$3$\displaystyle{ =n{ \{ a- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } \} }^{2}+n{b}^{2}+n- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{ $ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ }^{2} }$

$3$\displaystyle{ =n{ \{ a- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } \} }^{2}+n{b}^{2} }$ $3$\displaystyle{ +n \{ 1- { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ }^{2} \} }$

$3$\displaystyle{ {{\Delta}}^{2} }$ は

$3$\displaystyle{ a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } }$ ， $3$\displaystyle{ b=0 }$

のとき最小となり，最小値 $3$\displaystyle{ {\Delta}_{ min }^{2} }$ は

$3$\displaystyle{ n \{ 1- { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ }^{2} \} }$

となる．

この時，原点を通る直線 $3$\displaystyle{ v= $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ u }$ の回りに最も集まっているといえる．

最小値は， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } }$ の値に依存しており， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} }=\pm 1 }$ のとき，最小値は $3$\displaystyle{0}$ となり，すべての変量が直線 $3$\displaystyle{ v= $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ u }$ 上に存在することになる．

この $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } }$ の値を相関係数 $3$r$ と定義している．この相関係数を， $3$x$ ， $3$y$ を使って表すと

$3$\displaystyle{r=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{x} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{y} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{x}\hspace{1}{{\sigma}}_{y} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{ xy } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{x}\hspace{1}{{\sigma}}_{y} \hspace{2}}}$

ここで， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)=\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }}$ 共分散と定義している．

となり冒頭の式になる．

●最小値 $3$\displaystyle{ {\Delta}_{ min }^{2} }$ について考えてみる

$3$\displaystyle{ {{\Delta}}^{2}\geq 0 }$ より

$3$\displaystyle{ n \{ 1- { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ }^{2} \} \geq 0 }$

$3$\displaystyle{ n \{ { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ }^{2}- 1 \} \leq 0 }$

$3$\displaystyle{ n \{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ - 1 \} \{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} } $ +1 \} \leq 0 }$

よって

$3$\displaystyle{ - 1\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{u}_{i}\hspace{1}{v}_{i} }\leq 1 }$ ⇒　 $3$\displaystyle{- 1\leq r\leq 1}$

$3$\displaystyle{ {\Delta}_{ min }^{2} }$ の最大値は $3$\displaystyle{n}$ で最小値は $3$\displaystyle{0}$ となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>確率統計>>相関係数

最終更新日： 2025年2月5日

相関係数の式の導出

■相関係数の式の導出

●最小値 について考えてみる

●最小値 $3$\displaystyle{ {\Delta}_{ min }^{2} }$ について考えてみる