標準化

$3$\displaystyle{n}$ 個のデータ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},\cdots ,\hspace{1}{x}_{n} }$ があり，その平均値が $3$\displaystyle{\bar{x}}$ ，標準偏差が $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\sigma}}_{x} }$ のとき

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{z}_{i}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{x} \hspace{2}} }$ 　

の式によってデータの値 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{i} }$ を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{z}_{i} }$ に変換することをデータの標準化という．

標準化された $3$\displaystyle{n}$ 個のデータ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{z}_{1},\hspace{1}{z}_{2},\cdots ,\hspace{1}{z}_{n} }$ の平均値 $3$\displaystyle{\bar{z}}$ はゼロ，標準偏差 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\sigma}}_{z} }$ は $3$\displaystyle{1}$ になる．

■ $3$\displaystyle{\bar{z}}$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\sigma}}_{z} }$ の計算

$3$\displaystyle{ \bar{z}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{z}_{i} } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} $ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} $ } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n{\sigma} \hspace{2}} $ {\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}- {\sum }\limits_{ i=1 }^{n}\bar{x} $ }$

$3$\displaystyle{ \bar{x}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i} } }$ より

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n{\sigma} \hspace{2}} $ n\bar{x}- n\bar{x} $ }$

$3$\displaystyle{ =0 }$

$3$\displaystyle{ {\sigma}_{z}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} $ \hspace{1}{z}_{i}- \bar{z} $ } }^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} z_{i}^{2} } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} $ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} \hspace{2}}{\hspace{2} {\sigma}_{x}^{2} \hspace{2}} $ } }^{2} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n{\sigma}_{x}^{2} \hspace{2}}{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} $ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} $ } }^{2} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\sigma}_{x}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} $ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} $ } }^{2} }$

$3$\displaystyle{ {\sigma}_{x}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} $ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} $ } }^{2} }$ より

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\sigma}_{x}^{2} \hspace{2}}\cdot {\sigma}_{x}^{2} }$

$3$\displaystyle{ =1 }$

ホーム>>カテゴリー分類>>確率>>確率統計>>標準化

最終更新日： 2024年3月5日

標準化

■，の計算

■ $3$\displaystyle{\bar{z}}$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\sigma}}_{z} }$ の計算