対数正規分布(log-normal distribution)

対数正規分布は，正規分布 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} x- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} } }$ の確率変数 $3$X$ を $3$\displaystyle{ Y={e}^{X} }$ を用いて確率変数 $3$y$ に変換することによって得られた分布で，確率密度関数（確率分布）が

$3$\displaystyle{ g\left({y}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma}y \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} \log y- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} } }$ 　･･････(1)

となる．累積分布関数は

$3$\displaystyle{G\left({x}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{y} g\left({t}\right)dt }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{y} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma}y \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} \log y- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }dt }}$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left[{ 1+\text{erf}\left({ \frac{\hspace{2} \log y–{\mu} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2}{\sigma} \hspace{2}} }\right) }\right] }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　･･････(2)

（ただし， $3$\displaystyle{\text{erf}\left({x}\right)}$ は誤差関数で， $3$\displaystyle{\text{erf}\left({x}\right)=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{{\pi}} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{x} {e}^{ - {t}^{2} }dt }}$ である）

である．

■導出

確率変数 $3$X$ が正規分布 $3$\displaystyle{ N\left({ {\mu},{\sigma} }\right) }$ に従っているとする．確率密度関数

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} x- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} } }$ 　･･････(3)

より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({x}\right)dx } }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} x- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }dx } }$ $3$\displaystyle{ =1 }$ 　･･････(4)

となる．

確率変数 $3$X$ を $3$\displaystyle{ Y={e}^{X} }$ を用いて確率変数 $3$y$ に変換する．

$3$\displaystyle{ x=\log y }$ 　 $3$ y> 0$ とおいて上の定積分を変数 $3$x$ から変数 $3$y$ 置換する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\text{\hspace{5}}\rightarrow \text{\hspace{5}}dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy }$

$3$ x:- \infty\text{ }\rightarrow \text{ }\infty$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
のとき $3$ y:0\rightarrow \text{ }\infty$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

より，(4)を書き直すと

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} \log y- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy } }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma}y \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ \frac{\hspace{2} \log y- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}} }\right) }^{2} }dy } }$ $3$\displaystyle{ =1 }$ 　･･････(5)

となる．

とおくと

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{1} g\left({y}\right)dy }=1 }$ 　･･････(7)

となり，確率密度関数の条件を満たしている．

確率変数 $3$Y$ の自然対数 $3$ \log Y$ が正規分布に従うので，この確率分布を対数正規分布という．

対数を取っていることより，低い方に一定の限度がある場合に適応できる分布である．

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最終更新日： 2024年3月13日