分布関数

確率変数 $3$X$ の任意の値 $3$x$ とその $3$x$ に対して

$3$\displaystyle{ F\left({x}\right)=P\left({ X\leq x }\right) }$

となる関数 $3$ F\left({x}\right)$ のことを分布関数あるいは累積分布関数という．( $3$ P\left({ X\leq x }\right)$ の表現については，ここを参照)

分布関数 $3$ F\left({x}\right)$ を確率関数 $3$ f\left({x}\right)$ を用いて表現すると以下のようになる．

離散型確率変数の場合 ⇒ $3$\displaystyle{F\left({x}\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ \hspace{1}{x}_{i}\leq x } f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$
連続型確率変数の場合 ⇒ $3$\displaystyle{F\left({x}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{x} f\left({t}\right)dt }}$

■事例

●事例1

サイコロを振った時の各目のでる確率に関する分布関数を描いてみる．確率変数 $3$X$ はサイコロの目の数とする．この場合の確率関数はここを参照する．

$3$\displaystyle{X< 1}$ の場合： $3$\displaystyle{F\left({x}\right)=0}$

$3$\displaystyle{1\leq X< 2}$ の場合： $3$\displaystyle{F\left({x}\right)=F\left({1}\right)=f\left({1}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{2\leq X< 3}$ の場合： $3$\displaystyle{F\left({x}\right)=F\left({2}\right)}$ $3$\displaystyle{=F\left({1}\right)+f\left({2}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{3\leq X< 4}$ の場合： $3$\displaystyle{F\left({x}\right)=F\left({3}\right)}$ $3$\displaystyle{=F\left({2}\right)+f\left({3}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{4\leq X< 5}$ の場合： $3$\displaystyle{F\left({x}\right)=F\left({4}\right)}$ $3$\displaystyle{=F\left({3}\right)+f\left({4}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{5\leq X< 6}$ の場合： $3$\displaystyle{F\left({x}\right)=F\left({5}\right)}$ $3$\displaystyle{=F\left({4}\right)+f\left({5}\right)=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

$3$6\leq X$ の場合： $3$\displaystyle{F\left({x}\right)=F\left({5}\right)}$ $3$\displaystyle{=F\left({5}\right)+f\left({6}\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=1}$

よって，分布関数は以下の図のようになる．

●事例2

標準正規分布の確率密度関数は

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} }{\sigma} \hspace{2}}{e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} }}$

なので，累積分布関数は

$3$\displaystyle{F\left({x}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}{e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{2} }dt }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 1+\text{erf}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }\right)}$

ただし， $3$\displaystyle{\text{erf}\left({x}\right)=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{{\pi}} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{x} {e}^{ - {t}^{2} }dt }}$

この関数のグラフは以下の図のようになる．

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　最終更新日： 2025年4月27日