2次元正規分布

連続的な確率変数 $3$\displaystyle{X,Y}$ の同時確率密度関数が

$3$\displaystyle{h $ x,y $ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi}\hspace{1}{{\sigma}}_{1}\hspace{1}{{\sigma}}_{2} \hspace{2}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {{\rho}}^{2} } \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}q $ x,y $ }}$

$3$\displaystyle{q\left({ x,y }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {{\rho}}^{2} \hspace{2}}\left{{ { \left({ \frac{\hspace{2} x- \hspace{1}{{\mu}}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{1} \hspace{2}} }\right) }^{2}- 2{\rho}\cdot \frac{\hspace{2} x- \hspace{1}{{\mu}}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{1} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} y- \hspace{1}{{\mu}}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{2} \hspace{2}}+{ \left({ \frac{\hspace{2} y- \hspace{1}{{\mu}}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\sigma}}_{2} \hspace{2}} }\right) }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{{\sigma}}_{1}> 0,\hspace{1}{{\sigma}}_{2}> 0,\left|{{\rho}}\right|< 1 }\right)}$

で与えられるとき， $3$\displaystyle{ $ X,Y $ }$ は2次元正規分布 $3$\displaystyle{N $ \hspace{1}{{\mu}}_{1},\hspace{1}{{\mu}}_{2},{\sigma}_{1}^{2},{\sigma}_{2}^{2},{\rho} $ }$ に従うという．

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最終更新日： 2024年4月9日