同時確率分布

■離散型確率変数の場合

離散型確率変数 $3$\displaystyle{X,Y}$ について

$3$\displaystyle{h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right)=P\left({ X=\hspace{1}{x}_{i},Y=\hspace{1}{y}_{j} }\right)}$ 　 $3$\displaystyle{\left({ i=1,\cdot \cdot \cdot ,n;j=1,\cdot \cdot \cdot ,m }\right)}$

により定まり関数 $3$\displaystyle{h $ x,y $ }$ を確率変数 $3$\displaystyle{X,Y}$ の同時確率分布という．

離散的な確率変数 $3$\displaystyle{X,Y}$ の同時確率分布 $3$\displaystyle{h $ x,y $ }$ について

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} {\sum }\limits_{ j=1 }^{m} h $ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} $ =1}$

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{m} h $ x,\hspace{1}{y}_{j} $ =f $x$ }$ 　（ $3$X$ の確率分布）

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} h $ \hspace{1}{x}_{i},y $ =g $y$ }$ 　（ $3$Y$ の確率分布）

が成立する．

■連続型確率変数の場合

$3$\displaystyle{D}$ を $3$\displaystyle{xy}$ 面上の領域とする．連続な2つの確率変数 $3$\displaystyle{X,Y}$ について

$3$\displaystyle{P $ \( X,Y $ \in\hspace{5}D \) =\hspace{1}{\int\int }_{D} h $ x,y $ dxdy }$

が成立するとき， $3$\displaystyle{h $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{X,Y}$ の同時確率密度関数という．

$3$\displaystyle{h $ x,y $ }$ を連続的な確率変数 $3$\displaystyle{X,Y}$ の同時確率密度関数とするとき

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=\displaystyle{\int }_{ - \infty }^{ +\infty }h\left({ x,y }\right)dy}$

$3$\displaystyle{g\left({y}\right)=\displaystyle{\int }_{ - \infty }^{ +\infty }h\left({ x,y }\right)dx}$

はそれぞれ $3$X$ と $3$Y$ の確率密度関数である．また

$3$\displaystyle{\int _{ - \infty }^{ +\infty } \int _{ - \infty }^{ +\infty } h $ x,y $ dxdy=1 }$

が成立する．

$3$X$ と $3$Y$ の同時確率密度関数を $3$\displaystyle{N $ x,y $ }$ ， $3$\displaystyle{X,Y}$ の確率密度関数をそれぞれ $3$\displaystyle{f $x$ ,g $y$ }$ とする．

$3$\displaystyle{h $ x,y $ =f $x$ g $y$ }$

が成立するとき， $3$X$ と $3$Y$ は独立であるという．

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最終更新日： 2024年4月9日