点推定

母集団からいくつかの標本を無作為に取り出し，これらの標本から，母平均，母分散などの母数を，ある一つの値として推定することを点推定という．

母集団から大きさ $3$\displaystyle{n}$ の標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}}$ を取り出したときの未知の母数 $3${\theta}$ の推定量

$3$\displaystyle{{\Theta}={\Theta}\left({ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }\right)}$ 　･･････(1)

を使って母数 $3$\displaystyle{{\theta}}$ の点推定について説明する．

母集団から大きさ $3$\displaystyle{n}$ の標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}}$ を取り出し，それそれの具体的な値(実現値)が $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}}$ とすると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}=\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}=\hspace{1}{x}_{2}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}=\hspace{1}{x}_{n}}$ 　･･････(2)

となり，(2)を(1)に代入して得られる

$3$\displaystyle{{\Theta}\left({ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{x}_{n} }\right)={{\theta}}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{{{\theta}}^{\prime }}$ が推定量 $3$\displaystyle{{\Theta}}$ の推定値となる．このように，推定量から具体的な推定値を求めることを点推定という．

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最終更新日： 2024年6月4日