推定量(estimator)

母集団から大きさ $3$\displaystyle{n}$ の標本 $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{3}}$ ･･･ $3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}}$ を取り出す．これらの標本から未知の母数 $3$\displaystyle{{\theta}}$ を与える関数

$3$\displaystyle{\hat{{\theta}}=T\left({ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }\right)}$

を $3$\displaystyle{{\theta}}$ の推定量という．

未知の母数 $3$\displaystyle{{\theta}}$ の推定量 $3$\displaystyle{\hat{{\theta}}}$ の期待値が $3$\displaystyle{{\theta}}$ と等しくなるとき，すなわち

$3$\displaystyle{E\left({\hat{{\theta}}}\right)={\theta}}$

が成り立つとき， $3$\displaystyle{\hat{{\theta}}}$ を不偏推定量という．

■不偏推定量の具体例

標本 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }$ に対し，母平均 $3$\displaystyle{{\mu}}$ の推定量
$3$\displaystyle{\bar{X}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{X}_{i} }}$ （ $3$\displaystyle{T\left({ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{X}_{i}}$ ）
は， $3$\displaystyle{{\mu}}$ の不偏推定量である．標本の平均と分散の期待値を参照のこと．
標本 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }$ に対し
$3$\displaystyle{{S}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { $ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} $ }^{2} }}$ 　 (ただし， $3$\displaystyle{ \bar{X}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{X}_{i} } }$ ）

（ $3$\displaystyle{T\left({ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{X}_{i}- \bar{X} }\right)}^{2}}$ ）

は母分数 $3$\displaystyle{{{\sigma}}^{2}}$ の不偏推定量である．不偏分散を参照のこと．

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最終更新日： 2026年4月10日