不偏分散

不偏分散 $3$\displaystyle{ {s}^{2} }$ とは，母集団から標本を抜き取った時の標本データのバラツキ具合から母集団の分散を推定したもので $3$\displaystyle{n}$ 個の標本データの値が $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},\cdots ,\hspace{1}{x}_{n} }$ 　とあるとき，次式で定義される．(和記号Σ参照)

$3$\displaystyle{ {s}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }^{2} }$

$3$n$ で割るのではなく $3$ n- 1$ で割っていることに注意

■考え方

標本の分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{s}{ }^{2}}$ の期待値 $3$\displaystyle{\bar{ \hspace{1}{{\sigma}}_{s}{ }^{2} }}$ を母分散 $3${{\sigma}}^{2}$ を使って表すと

$3$\displaystyle{\bar{ \hspace{1}{{\sigma}}_{s}{ }^{2} }=\frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{{\sigma}}^{2}}$ 　（ここを参照）

よって

$3$\displaystyle{{{\sigma}}^{2}=\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}\bar{ \hspace{1}{{\sigma}}_{s}{ }^{2} }}$

となり，標本の分散

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{s}{ }^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)}^{2}}$

に $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}}$ を掛けた

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }^{2} }\right}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)}^{2}}$

を不偏分散 $3${s}^{2}$

$3$\displaystyle{{s}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)}^{2}}$

と定義している．

このように定義すると，不偏分散 $3${s}^{2}$ の期待値が母分散 $3$\displaystyle{{{\sigma}}^{2}}$ と一致することになり，この不偏分散 $3$\displaystyle{{s}^{2}}$ は，母分散を推定するのに使われる．

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最終更新日： 2024年4月23日