標本分散の期待値

前提：母集団の中から， $3$n$ 個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．ただし，母平均を $3${\mu}$ ，母分散を $3${{\sigma}}^{2}$ とする．

標本の分散の期待値は $3$\displaystyle{\displaystyle{ \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{{\sigma}}^{2} }}$ となる．

■導出

母集団の中から， $3$n$ 個の標本を取り出す（取り出した標本は，すぐに母集団に戻し，次の標本を取り出す復元抽出）試行を考える．

1回目の試行で取り出したデータを

$3$ \hspace{1}{x}_{ 11 }$ ， $3$ \hspace{1}{x}_{ 12 }$ ， $3$\cdots$ ， $3$\hspace{1}{x}_{ 1n }$

2回目の試行で取り出したデータを

$3$ \hspace{1}{x}_{ 21 }$ ， $3$ \hspace{1}{x}_{ 22 }$ ， $3$\cdots$ ， $3$\hspace{1}{x}_{ 2n }$

$3$i$ 回目の試行で取り出したデータを

$3$ \hspace{1}{x}_{ i1 }$ ， $3$ \hspace{1}{x}_{ i2 }$ ， $3$\cdots$ ， $3$\hspace{1}{x}_{ in }$

と表記する．

各試行で得られた $3$ \hspace{1}{x}_{ i1 }$ ， $3$ \hspace{1}{x}_{ i2 }$ ， $3$\cdots$ ， $3$\hspace{1}{x}_{ in }$ が生じる各確率は一定の確率で表されるので確率変数になる．それらの確率変数を $3$ \hspace{1}{X}_{ 1 }$ ， $3$ \hspace{1}{X}_{ 2 }$ ， $3$\cdots$ ， $3$\hspace{1}{X}_{ n }$ とする．また，各試行の標本の平均を $3$ \hspace{1}{{\mu}}_{i}$ ，標本の分散を $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{i}{ }^{2}}$ とする．標本平均 $3$ \hspace{1}{{\mu}}_{i}$ ，標本分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{i}{ }^{2}}$ も確率変数となり，それぞれを， $3$M$ と $3${T}^{2}$ で表すことにする．以上の内容を表でまとめると以下のようになる．

試行	$3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}}$	$3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{2}}$	･･･	$3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{n}}$	$3$M$	$3$ {T}^{2}$
1回目	$3$\hspace{1}{x}_{11}$	$3$\hspace{1}{x}_{12}$	･･･	$3$\hspace{1}{x}_{ 1n }$	$3$\hspace{1}{{\mu}}_{1}$	$3$$ σ 1 2
2回目	$3$\hspace{1}{x}_{21}$	$3$\hspace{1}{x}_{22}$	･･･	$3$\hspace{1}{x}_{ 1n }$	$3$\hspace{1}{{\mu}}_{2}$	$3${\sigma}_{2}^{2}$
$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$
$3$i$ 回目	$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{ i1 }}$	$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{ i2 }}$	･･･	$3$\hspace{1}{x}_{ in }$	$3$\hspace{1}{{\mu}}_{i}$	$3${\sigma}_{i}^{2}$
$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$	$3$\vdots$
期待値	$3$E\left({ \hspace{1}{X}_{1} }\right)$	$3$E\left({ \hspace{1}{X}_{2} }\right)$	･･･	$3$E\left({ \hspace{1}{X}_{n} }\right)$	$3$E\left({M}\right)$	$3$E\left({{T}^{2}}\right)$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\mu}}_{i}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{ ij } }$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{i}{ }^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{x}_{ ij }- \hspace{1}{{\mu}}_{i} }\right)}^{2}}$ ･･････(2)

(1)，(2)を確率変数で表わすと

$3$\displaystyle{ M=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{X}_{j} } }$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{ {T}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{X}_{j}- M }\right) }^{2} } }$ ･･････(4)

となる．

母平均を $3${\mu}$ ，母分散を $3$\displaystyle{{{\sigma}}^{2}}$ とすると，前提条件より

$3$\displaystyle{ E\left({ \hspace{1}{X}_{j} }\right)={\mu} }$ ･･････(5)

$3$\displaystyle{ V\left({ \hspace{1}{X}_{j} }\right)={{\sigma}}^{2} }$ ･･････(6)

である．

また

$3$ \hspace{1}{X}_{ 1 }$ ， $3$ \hspace{1}{X}_{ 2 }$ ， $3$\cdots$ ， $3$\hspace{1}{X}_{ n }$ は互いに独立

である．

確率変数 $3${T}^{2}$ の期待値を，(5)，(6)の関係を用いて，母平均 $3${\mu}$ ，母分散 $3$\displaystyle{{{\sigma}}^{2}}$ を用いて表すことを試みる．

$3$\displaystyle{{T}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{X}_{i}- M }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}{ \left({ \left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right)- \left({ M- {\mu} }\right) }\right) }^{2} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}\left{{ { \left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right) }^{2}- 2\left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right)\left({ M- {\mu} }\right)+{ \left({ M- {\mu} }\right) }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{- 2\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}\left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right)\left({ M- {\mu} }\right)}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n}{\left({ M- {\mu} }\right)}^{2}}$

紛らわしいのを避けるため，(4)より $3$\displaystyle{ M=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} \hspace{1}{X}_{k} } }$ と考えると． $3$\displaystyle{\left({ M- {\mu} }\right)}$ は $3$\displaystyle{ {\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n} }$ の外にくくり出せる．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{- 2\left({ M- {\mu} }\right)\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}\left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right)}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n}{\left({ M- {\mu} }\right)}^{2}}$

(3)より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{+2\left({ {\mu}- M }\right)\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}\hspace{1}{X}_{j}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}{\mu} }\right)}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}{\left({ {\mu}- M }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}{\left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right)}^{2}- {\left({ M- {\mu} }\right)}^{2}}$

よって

$3$\displaystyle{E\left({{T}^{2}}\right)=E\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}{ \left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right) }^{2}- { \left({ M- {\mu} }\right) }^{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} E{ \left({ \hspace{1}{X}_{j}- {\mu} }\right) }^{2} }- E{\left({ M- {\mu} }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{E\left({M}\right)={\mu}}$ より

$3$\displaystyle{E\left({ { \left({ M- {\mu} }\right) }^{2} }\right)=E\left({ { \left({ M- E\left({M}\right) }\right) }^{2} }\right)=V\left({M}\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}{{\sigma}}^{2}}- V\left({M}\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}n{{\sigma}}^{2}- V\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{X}_{j} } }\right)}$

$3$\displaystyle{={{\sigma}}^{2}- {\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{2}V\left({ \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{X}_{j} } }\right)}$ (ここを参照)

$3$\displaystyle{={{\sigma}}^{2}- {\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{2}\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} V\left({ \hspace{1}{X}_{j} }\right) }}$ (ここを参照)

(6)より

$3$\displaystyle{={{\sigma}}^{2}- {\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{2}\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n}{{\sigma}}^{2}}}$

$3$\displaystyle{={{\sigma}}^{2}- {\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{2}n{{\sigma}}^{2}}$

$3$\displaystyle{={{\sigma}}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{{\sigma}}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{{\sigma}}^{2}}$

標本の分散の期待値は母分散 $3${\sigma}$ の $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }$ 倍になる．

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最終更新日： 2026年5月6日