$3$V\left({ aX }\right)={a}^{2}V\left({X}\right)$

確率変数 $3$\displaystyle{X}$ について

が成り立つ．

■証明

まず

$3$\displaystyle{{\mu}=E\left({X}\right)}$ 　（ここでは，期待値を $3$\bar{x}$ ではなく $3${\mu}$ を使うことにする．）

$3$\displaystyle{{\eta}=E\left({ aX }\right)=aE\left({X}\right)=a{\mu}}$

とする．

●離散型確率変数の場合

分散の定義

$3$\displaystyle{V\left({X}\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{x}_{i}- {\mu} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

より

$3$\displaystyle{V\left({ aX }\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ a\hspace{1}{x}_{i}- {\eta} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ a\hspace{1}{x}_{i}- a{\mu} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left{{ a\left({ \hspace{1}{x}_{i}- {\mu} }\right) }\right} }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} {a}^{2}{ \left({ \hspace{1}{x}_{i}- {\mu} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

$3$\displaystyle{={a}^{2}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ \hspace{1}{x}_{i}- {\mu} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

$3$\displaystyle{={a}^{2}V\left({X}\right)}$

●連続型確率変数の場合

分散の定義

$3$\displaystyle{V\left({X}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} { \left({ \hspace{1}{x}_{i}- {\mu} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$

より

$3$\displaystyle{V\left({X}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} { \left({ a\hspace{1}{x}_{i}- {\eta} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} { \left({ a\hspace{1}{x}_{i}- a{\mu} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} { \left{{ a\left({ \hspace{1}{x}_{i}- {\mu} }\right) }\right} }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} {a}^{2}{ \left({ \hspace{1}{x}_{i}- {\mu} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{={a}^{2}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} { \left({ \hspace{1}{x}_{i}- {\mu} }\right) }^{2}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{={a}^{2}V\left({X}\right)}$

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最終更新日： 2026年3月30日