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$3$E\left({X}\right)$ ， $3$V\left({X}\right)$ ， $3$C\left({ X,Y }\right)$ の計算則

■確率変数 $3$\displaystyle{X}$ について

$3$\displaystyle{E\left({ aX }\right)=aE\left({X}\right)}$ 　⇒　証明
$3$\displaystyle{V\left({ aX }\right)={a}^{2}V\left({X}\right)}$ 　⇒　証明
$3$\displaystyle{V\left({X}\right)=E\left({ {X}^{2} }\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}}$ 　⇒　証明

■2つの確率変数 $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ について

$3$E\left({ X+Y }\right)=E\left({X}\right)+E\left({Y}\right)$ 　⇒　証明
$3$\displaystyle{ E\left({ aX+bY }\right)=aE\left({X}\right)+bE\left({Y}\right) }$ 　⇒　証明
$3$\displaystyle{V\left({ X+Y }\right)=V\left({X}\right)+2C\left({ X,Y }\right)+V\left({Y}\right)}$ 　⇒　証明
$3$\displaystyle{V\left({ aX+bY }\right)}$ $3$\displaystyle{={a}^{2}V\left({X}\right)+2abC\left({ X,Y }\right)+{b}^{2}V\left({Y}\right)}$ 　⇒　証明
$3$\displaystyle{C\left({ X,Y }\right)=E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)}$ 　⇒　証明
$3$\displaystyle{C\left({ aX,bY }\right)=abC\left({ X,Y }\right)}$ 　⇒　証明

● $3$X$ と $3$Y$ が独立な確率変数の場合

$3$\displaystyle{E\left({ XY }\right)=E\left({X}\right)E\left({Y}\right)}$ 　⇒　証明
$3$\displaystyle{C\left({ X,Y }\right)=0}$ 　⇒　証明
$3$\displaystyle{V\left({ aX+bY }\right)={a}^{2}V\left({X}\right)+{b}^{2}V\left({Y}\right)}$ 　⇒　証明

　

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最終更新日： 2025年4月25日