$3$X$ と $3$Y$ が独立な確率変数の場合： $3$E\left({ XY }\right)=E\left({Y}\right)E\left({Y}\right)$

独立な2つの確率変数 $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ について

$3$\displaystyle{E\left({ XY }\right)=E\left({Y}\right)E\left({Y}\right)}$ ･･････(1)

が成り立つ．

■証明

確率関数 $3$f\left({x}\right)$ ， $3$g\left({y}\right)$ ， $3$h\left({ x,y }\right)$ を以下のように定める(同時確率分布を参照) ．

$3$\displaystyle{P\left({ X=\hspace{1}{x}_{i} }\right)=f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)}$

$3$\displaystyle{P\left({ Y=\hspace{1}{y}_{j} }\right)=g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right)}$

$3$\displaystyle{P\left({ X=\hspace{1}{x}_{i}Y=\hspace{1}{y}_{j} }\right)=h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right)}$

$3$X$ ， $3$Y$ が独立であることより

$3$\displaystyle{h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right)=f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right)}$

が成り立つ．この関係を利用して，以下のように証明をする．

$3$\displaystyle{E\left({ XY }\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{y}_{j}h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right) } }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{y}_{j}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) } }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \left{{ \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{y}_{j}g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) } }\right} }}$

$3$\displaystyle{=\left{{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) } }\right}\left{{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{y}_{j}g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) } }\right}}$

$3$\displaystyle{=E\left({X}\right)+E\left({Y}\right)}$

ホーム>>カテゴリー分類>>確率・統計>> $3$E\left({X}\right)$ ， $3$V\left({X}\right)$ ， $3$C\left({ X,Y }\right)$ の計算則>> $3$E\left({ XY }\right)=E\left({Y}\right)E\left({Y}\right)$

最終更新日： 2026年4月9日

と が独立な確率変数の場合：

■証明

$3$X$ と $3$Y$ が独立な確率変数の場合： $3$E\left({ XY }\right)=E\left({Y}\right)E\left({Y}\right)$