$3$\displaystyle{ E\left({ aX+b }\right)=aE\left({X}\right)+b }$

確率変数 $3$\displaystyle{X}$ について

が成り立つ．

■証明

●離散型確率変数の場合

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

より

$3$\displaystyle{E\left({ aX+b }\right)={\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\left({ a\hspace{1}{x}_{i}+b }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)}$

$3$\displaystyle{={\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\left{{ a\hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)+bf\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{={\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}a\hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)+{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}bf\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)}$

$3$\displaystyle{=a{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)+b{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)}$

$3$\displaystyle{=aE\left({X}\right)+b}$

●連続型確率変数の場合

期待値の定義

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$

より

$3$\displaystyle{E\left({ aX }\right)=\displaystyle{\int }_{ - \infty }^{\infty}\left({ a\hspace{1}{x}_{i}+b }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{ - \infty }^{\infty}\left{{ a\hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)+bf\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }\right}dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{ - \infty }^{\infty}a\hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx+\displaystyle{\int }_{ - \infty }^{\infty}bf\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx}$

$3$\displaystyle{=a\displaystyle{\int }_{ - \infty }^{\infty}\hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx+b\displaystyle{\int }_{ - \infty }^{\infty}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx}$

$3$\displaystyle{=aE\left({X}\right)+b}$

ホーム>>カテゴリー分類>>確率・統計>> $3$E\left({X}\right)$ ， $3$V\left({X}\right)$ ， $3$C\left({ X,Y }\right)$ の計算則>> $3$\displaystyle{ E\left({ aX+b }\right)=aE\left({X}\right)+b }$

最終更新日： 2026年3月30日