期待値

確率変数 $3$\displaystyle{X}$ の実現値の平均のことを期待値といい， $3$\displaystyle{E\left({X}\right)}$ と表現する（ $3$\displaystyle{E}$ は期待値の英語表記 Expected value の頭文字である）．

●離散型確率変数の場合

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)={\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }$

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ は確率変数 $3$\displaystyle{X}$ の確率関数（ $3$\displaystyle{x}$ は $3$\displaystyle{X}$ の実現値）

●連続型確率変数の場合

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\int _{ - \infty }^{\infty} xf\left({x}\right)dx }$

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ は確率変数 $3$\displaystyle{X}$ の確率密度関数（ $3$\displaystyle{x}$ は $3$\displaystyle{X}$ の実現値）

と定義される．確率関数，確率密度関数の性質として

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) =1}$ （離散型確率変数の場合）

$3$\displaystyle{\int _{ - \infty }^{\infty} f\left({x}\right)dx =1}$ （連続型確率変数の場合）

であるので，上式は， $3$\displaystyle{f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)}$ または $3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ を重みとして加重平均をとったものと考えることができる．離散型確率変数の場合において，すべての実現値が等確率で起こるならば， $3$\displaystyle{f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ となり，期待値 $3$\displaystyle{E\left({X}\right)}$ は算術平均で求められる．

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　最終更新日： 2026年4月9日