$3$X$ と $3$Y$ が独立な確率変数の場合： $3$V\left({ aX+bY }\right)={a}^{2}V\left({X}\right)+{b}^{2}V\left({Y}\right)$

独立な2つの確率変数 $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ について

$3$\displaystyle{V\left({ aX+bY }\right)={a}^{2}V\left({X}\right)+{b}^{2}V\left({Y}\right)}$

が成り立つ．

■証明

2つの確率変数 $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ について

$3$\displaystyle{V\left({ aX+bY }\right)}$ $3$\displaystyle{={a}^{2}V\left({X}\right)+2abC\left({ X,Y }\right)+{b}^{2}V\left({Y}\right)}$

が成り立つ．（ここを参照）

$3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ が独立な場合

$3$\displaystyle{C\left({ X,Y }\right)=0}$ 　（ここを参照）

が成り立つ．よって

$3$\displaystyle{V\left({ aX+bY }\right)={a}^{2}V\left({X}\right)+{b}^{2}V\left({Y}\right)}$

となる．

最終更新日： 2024年4月9日