$3$X$ と $3$Y$ が独立な確率変数の場合： $3$C\left({ X,Y }\right)=0$

独立な2つの確率変数 $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ について

$3$C\left({ X,Y }\right)=0$ 　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

確率関数 $3$f\left({x}\right)$ ， $3$g\left({y}\right)$ を以下のように定める．

$3$\displaystyle{P\left({ X=\hspace{1}{x}_{i} }\right)=f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)}$

$3$\displaystyle{P\left({ Y=\hspace{1}{y}_{j} }\right)=g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right)}$

$3$\displaystyle{P\left({ X=\hspace{1}{x}_{i}Y=\hspace{1}{y}_{j} }\right)=h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right)}$ ， $3$h\left({ x,y }\right)$

さらに

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\mu}}_{x}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\mu}}_{y}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{y}_{j}g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) }}$

$3$X$ ， $3$Y$ が独立であることより

$3$\displaystyle{h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right)=f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right)}$

が成り立つ．この関係を利用して，以下のように証明をする．

$3$\displaystyle{C\left({ X,Y }\right)}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \hspace{1}{{\mu}}_{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{j}- \hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right)h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right) } }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \hspace{1}{{\mu}}_{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{j}- \hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) } }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \hspace{1}{{\mu}}_{x} }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{j}- \hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right)g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) } }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \left{{ \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \hspace{1}{{\mu}}_{x} }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{y}_{j}- \hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right)g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) } }\right} }}$

$3$\displaystyle{=\left{{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \hspace{1}{{\mu}}_{x} }\right)f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) } }\right}\left{{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{y}_{j}- \hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right)g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) } }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left[{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \left{{ \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)- \hspace{1}{{\mu}}_{x}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }\right} } }\right]\left[{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \left{{ \hspace{1}{y}_{j}g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right)- \hspace{1}{{\mu}}_{y}g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) }\right} } }\right]}$

$3$\displaystyle{=\left{{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }- \hspace{1}{{\mu}}_{x}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) } }\right}\left{{ \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{y}_{j}g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) }- \hspace{1}{{\mu}}_{y}\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) } }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left{{ \hspace{1}{{\mu}}_{x}- \hspace{1}{{\mu}}_{x}\cdot 1 }\right}\left{{ \hspace{1}{{\mu}}_{y}- \hspace{1}{{\mu}}_{y}\cdot 1 }\right}}$

$3$=0$

●別解

共分散の定義より

$3$\displaystyle{C\left({ X,Y }\right)=E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)}$

$3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ が独立より， $3$\displaystyle{E\left({ XY }\right)=E\left({Y}\right)E\left({Y}\right)}$ である（ここを参照）．よって

$3$C\left({ X,Y }\right)=0$

ホーム>>カテゴリー分類>>確率統計>> $3$E\left({X}\right)$ ， $3$V\left({X}\right)$ ， $3$C\left({ X,Y }\right)$ の計算則>> $3$C\left({ X,Y }\right)=0$

最終更新日： 2024年2月24日

とが独立な確率変数の場合：

■証明

●別解

$3$X$ と $3$Y$ が独立な確率変数の場合： $3$C\left({ X,Y }\right)=0$