$3$V\left({ X+Y }\right)$ $3$=V\left({X}\right)+2C\left({ X,Y }\right)+V\left({Y}\right)$

2つの確率変数 $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ について

$3$V\left({ X+Y }\right)$ $3$=V\left({X}\right)+2C\left({ X,Y }\right)+V\left({Y}\right)$ 　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

まず

$3$\displaystyle{ {\mu}=E\left({ X+Y }\right) }$ 　･･････(2)

とおく．

分散の定義より

$3$\displaystyle{V\left({ X+Y }\right)}$ $3$\displaystyle{=E\left({ { \left{{ \left({ X+Y }\right)- {\mu} }\right} }^{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ { \left{{ \left({ X+Y }\right)- {\mu} }\right} }^{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ { \left({ X+Y }\right) }^{2}- 2{\mu}\left({ X+Y }\right)+{{\mu}}^{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2}+2XY+{Y}^{2}- 2{\mu}X- 2{\mu}Y+{{\mu}}^{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2} }\right)+E\left({ 2XY }\right)+E\left({ {Y}^{2} }\right)+E\left({ - 2{\mu}X }\right)+E\left({ - 2{\mu}Y }\right)+E\left({ {{\mu}}^{2} }\right)}$

∵ $3$\displaystyle{ E\left({ X+Y }\right)=E\left({X}\right)+E\left({Y}\right) }$ 　(ここを参照)

$3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2} }\right)+2E\left({ XY }\right)+E\left({ {Y}^{2} }\right)- 2{\mu}E\left({X}\right)- 2{\mu}E\left({Y}\right)+{{\mu}}^{2}}$

∵ $3$\displaystyle{E\left({ aX }\right)=aE\left({X}\right)}$ 　(ここを参照)

$3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2} }\right)+2E\left({ XY }\right)+E\left({ {Y}^{2} }\right)- 2{\mu}\left{{ E\left({X}\right)+E\left({Y}\right) }\right}+{{\mu}}^{2}}$

$3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2} }\right)+2E\left({ XY }\right)+E\left({ {Y}^{2} }\right)- 2{\mu}\left{{ E\left({ X+Y }\right) }\right}+{{\mu}}^{2}}$

∵ (2)

$3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2} }\right)+2E\left({ XY }\right)+E\left({ {Y}^{2} }\right)- E{\left({ X+Y }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2} }\right)+2E\left({ XY }\right)+E\left({ {Y}^{2} }\right)- {\left{{ E\left({X}\right)+E\left({Y}\right) }\right}}^{2}}$

$3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2} }\right)+2E\left({ XY }\right)+E\left({ {Y}^{2} }\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}- 2E\left({X}\right)E\left({Y}\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}}$

$3$\displaystyle{=E\left({ {X}^{2} }\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}+2\left{{ E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right) }\right}+E\left({ {Y}^{2} }\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}}$

∵ $3$\displaystyle{V\left({X}\right)=E\left({ {X}^{2} }\right)- {\left{{ E\left({X}\right) }\right}}^{2}}$ 　(ここを参照)， $3$\displaystyle{C\left({ X,Y }\right)=E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)}$ 　(ここを参照)

$3$\displaystyle{=V\left({X}\right)+2C\left({ X,Y }\right)+V\left({Y}\right)}$

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最終更新日： 2024年2月24日