$3$C\left({ X,Y }\right)$ $3$=E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)$

2つの確率変数 $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ について

$3$C\left({ X,Y }\right)$ $3$=E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)$ 　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\hspace{1}{{\mu}}_{x}}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{E\left({Y}\right)=\hspace{1}{{\mu}}_{y}}$ 　･･････(3)

とする．

共分散の定義より

$3$\displaystyle{C\left({ X,Y }\right)}$ $3$\displaystyle{=E\left({ \left({ X- \hspace{1}{{\mu}}_{x} }\right)\left({ Y- \hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right) }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY- \hspace{1}{{\mu}}_{x}Y- \hspace{1}{{\mu}}_{y}X+\hspace{1}{{\mu}}_{x}\hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY }\right)- E\left({ \hspace{1}{{\mu}}_{x}Y }\right)- E\left({ \hspace{1}{{\mu}}_{y}X }\right)+E\left({ \hspace{1}{{\mu}}_{x}\hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY }\right)- \hspace{1}{{\mu}}_{x}E\left({Y}\right)- \hspace{1}{{\mu}}_{y}E\left({X}\right)+\hspace{1}{{\mu}}_{x}\hspace{1}{{\mu}}_{y}}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)+E\left({X}\right)E\left({Y}\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)}$

となる．

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　最終更新日： 2026年3月30日