$3$\displaystyle{ E\left({ X+Y }\right)=E\left({X}\right)+E\left({Y}\right) }$

2つの確率変数 $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ について

$3$\displaystyle{ E\left({ X+Y }\right)=E\left({X}\right)+E\left({Y}\right) }$ 　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

$3$\displaystyle{h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right)=P\left({ X=\hspace{1}{x}_{i},Y=\hspace{1}{y}_{j} }\right)}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n}h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right)}$ $3$\displaystyle{={\displaystyle{\sum }}\limits_{ j=1 }^{n}P\left({ X=\hspace{1}{x}_{i},Y=\hspace{1}{y}_{j} }\right)}$ $3$\displaystyle{=P\left({ X=\hspace{1}{x}_{i} }\right)=f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)}$ 　･･････(3)

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{m}h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right)}$ $3$\displaystyle{={\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{m}P\left({ X=\hspace{1}{x}_{i},Y=\hspace{1}{y}_{j} }\right)}$ $3$\displaystyle{=P\left({ Y=\hspace{1}{y}_{i} }\right)=g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right)}$ 　･･････(4)

と定義する．

期待値の定義より

$3$\displaystyle{E\left({ X+Y }\right)}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{x}_{i}+\hspace{1}{y}_{j} }\right)h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right) } }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \left{{ \hspace{1}{x}_{i}h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right)+\hspace{1}{y}_{j}h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right) }\right} } }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right) } }}$ $3$\displaystyle{+\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{y}_{j}h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right) } }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \left{{ \hspace{1}{x}_{i}\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right) } }\right} }}$ $3$\displaystyle{+\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \left{{ \hspace{1}{y}_{j}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} h\left({ \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{j} }\right) } }\right} }}$

(3)，(4)より

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{m} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }+\displaystyle{{\sum }\limits_{ j=1 }^{n} \hspace{1}{y}_{j}g\left({ \hspace{1}{y}_{j} }\right) }}$

$3$\displaystyle{=E\left({X}\right)+E\left({Y}\right)}$

ホーム>>カテゴリー分類>>確率>>統計>> $3$E\left({X}\right)$ ， $3$V\left({X}\right)$ ， $3$C\left({ X,Y }\right)$ の計算則>> $3$\displaystyle{ E\left({ X+Y }\right)=E\left({X}\right)+E\left({Y}\right) }$

最終更新日： 2026年5月12日