$3$E\left({ aX }\right)=aE\left({X}\right)$

確率変数 $3$\displaystyle{X}$ について

が成り立つ．

■証明

●離散型確率変数の場合

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

より

$3$\displaystyle{E\left({ aX }\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} a\hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$ $3$\displaystyle{=a\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$ $3$\displaystyle{=aE\left({X}\right)}$

●連続型確率変数の場合

平均（期待値）の定義

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$

より

$3$\displaystyle{E\left({ aX }\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} a\hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$ $3$\displaystyle{=a\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right)dx }}$ $3$\displaystyle{=aE\left({X}\right)}$

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最終更新日： 2024年2月23日