$3$C\left({ aX,bY }\right)=abC$X,Y$$

2つの確率変数 $3$\displaystyle{X}$ ， $3$\displaystyle{Y}$ について

$3$C\left({ aX,bY }\right)=abC$X,Y$$ 　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

共分散の定義より

$3$\displaystyle{C\left({ aX,bY }\right)}$ $3$\displaystyle{=E\left({ aX\cdot bY }\right)- E\left({ aX }\right)E\left({ aX }\right)}$

∵ $3$\displaystyle{ E\left({ aX }\right)=aE\left({X}\right) }$ 　(ここを参照)

$3$\displaystyle{=abE\left({ XY }\right)- aaE\left({X}\right)E\left({X}\right)}$

$3$\displaystyle{=ab\left{{ E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({X}\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=abC$X,Y$}$

とする．

　最終更新日： 2024年2月24日