不偏共分散

不偏共分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{s}_{ xy }}$ とは，母集団から変量 $3$X$ ， $3$Y$ の組の標本を取り出したとき，標本データのばらつき具合から母集団の共分散を推定するための量である。 $3$\displaystyle{n}$ 個の標本データの組が $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{2},\hspace{1}{y}_{2} }\right)}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{n},\hspace{1}{y}_{n} }\right)}$ のとき，次式で定義される。（和記号Σ参照）

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{s}_{ xy }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }$

ただし， $3$\displaystyle{\bar{x}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}}$ ， $3$\displaystyle{\bar{y}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{y}_{i}}$

$3$n$ で割るのではなく $3$ n- 1$ で割っていることに注意

■考え方

標本の共分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy\left({s}\right) }}$ の期待値 $3$\displaystyle{E\left({ \hspace{1}{T}_{ XY } }\right)}$ を母共分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }}$ を使って表すと

$3$\displaystyle{E\left({ \hspace{1}{T}_{ XY } }\right)=\frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }}$ 　（ここを参照）

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }=\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}E\left({ \hspace{1}{T}_{ XY } }\right)}$

となり，標本の共分散

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy\left({s}\right) }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)}$

に $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}}$ を掛けた

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)}$

を不偏共分散 $3$\hspace{1}{s}_{ xy }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{s}_{ xy }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right) }\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)}$

と定義している．

このように定義すると，不偏共分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{s}_{ xy }}$ の期待値が母共分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }}$ と一致することになり，この不偏共分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{s}_{ xy }}$ は，母共分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }}$ を推定するのに使われる．

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最終更新日： 2026年5月6日