平方完成の具体例

■具体例1

$3$\displaystyle{y={x}^{2}+2x+3}$

$3$\displaystyle{ {x}^{2} }$ の係数1で $3$\displaystyle{ {x}^{2} }$ の項と $3$\displaystyle{x}$ の項をくくる．　

$3$\displaystyle{ =1 $ {x}^{2}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}x $ +3 }$

$3$\displaystyle{ { $ x+\bigcirc $ }^{2} }$ の項を作るために $3$\displaystyle{x}$ の項を $3$\displaystyle{ 2\cdot \bigcirc\cdot x }$ の形に変形する．

$3$\displaystyle{ =1 $ {x}^{2}+2\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 1 \hspace{2}}x $ +3 }$

$3$\displaystyle{ { $x+2\cdot \bigcirc\cdot x+{\bigcirc}^{2}- {\bigcirc}^{2}$ }^{2} }$ の形に変形する．

$3$\displaystyle{ =1 \{ {x}^{2}+2\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 1 \hspace{2}}x+{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 1 \hspace{2}} $ }^{2}- { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 1 \hspace{2}} $ }^{2} \} +3 }$

$3$\displaystyle{ { $ x+\bigcirc $ }^{2} }$ の項を作るために， $3$\displaystyle{- {\bigcirc}^{2}}$ の項を外に出す．　

$3$\displaystyle{ =1 \{ {x}^{2}+2\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 1 \hspace{2}}x+{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 1 \hspace{2}} $ }^{2} \} - 1{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 1 \hspace{2}} $ }^{2}+3 }$

分けた2つの部分を整理する

$3$\displaystyle{ ={ $ x+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 1 \hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2} {2}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 4\cdot 1 \hspace{2}}+3 }$

$3$\displaystyle{ ={ $ x+1 $ }^{2}- \frac{\hspace{2} {2}^{2}- 4\cdot 1\cdot 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 4\cdot 1 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={ $ x+1 $ }^{2}+2 }$

■具体例2

1次の項の係数が偶数の場合

$3$\displaystyle{y={x}^{2}- 6x+7}$

$3$\displaystyle{x}$ の1次の項の係数 $3$\displaystyle{○}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
を $3$\displaystyle{ 2\cdot \bigcirc }$ の形に変形し， $3$\displaystyle{ {\bigcirc}^{2} }$ の項を加えて，引く

$3$\displaystyle{ ={x}^{2}- 2\cdot 3x+{3}^{2}- {3}^{2}+7 }$

$3$\displaystyle{ { $ x- \bigcirc $ }^{2} }$ の項をつくるために式を変形する

$3$\displaystyle{ = $ {x}^{2}- 2\cdot 3x+{3}^{2} $ - {3}^{2}+7 }$

計算して整理する

$3$\displaystyle{ ={ $ x- 3 $ }^{2}- 2 }$

■具体例3

1次の項が奇数の場合

$3$\displaystyle{y={x}^{2}- 3x+9}$

$3$\displaystyle{x}$ の1次の項の係数 $3$\displaystyle{○}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
を $3$\displaystyle{ 2\cdot \frac{\hspace{2}\bigcirc\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ の形に変形する

$3$\displaystyle{ = $ {x}^{2}- 2\cdot \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x $ +9 }$

$3$\displaystyle{ { $ x- \bigcirc $ }^{2} }$ の項を作るために $3$\displaystyle{ \left({ }\right) }$ の中で $3$\displaystyle{ { $ \frac{\hspace{2}\bigcirc\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2} }$ の項を加えて引く

$3$\displaystyle{ = \{ {x}^{2}- 2\cdot \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+{ $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}- { $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2} \} +9 }$

$3$\displaystyle{ { $ x- \bigcirc $ }^{2} }$ の項をつくるために式を変形する

$3$\displaystyle{ = \{ {x}^{2}- 2\cdot \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+{ $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2} \} - { $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}+9 }$

計算して整理する．

$3$\displaystyle{ ={ $ x- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}+\frac{\hspace{2} 27 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

具体例4

2次の項の係数が1以外の場合の具体例その1

$3$\displaystyle{y=2{x}^{2}+5x+7}$

$3$\displaystyle{x}$ の2次の項の係数で $3$\displaystyle{x}$ の2次の項と1次の項をくくる

$3$\displaystyle{ =2 $ {x}^{2}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x $ +7 }$

$3$\displaystyle{ =2 $ {x}^{2}+2\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 2 \hspace{2}}x $ +7 }$

$3$\displaystyle{ =2 \{ {x}^{2}+2\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 2 \hspace{2}}x+{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 2 \hspace{2}} $ }^{2}- { $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 2 \hspace{2}} $ }^{2} \} +7 }$

$3$\displaystyle{ { $ x- \bigcirc $ }^{2} }$ の項ができるように式を変形する

$3$\displaystyle{ =2 \{ {x}^{2}+2\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 2 \hspace{2}}x+{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 2 \hspace{2}} $ }^{2} \} - 2{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 2 \hspace{2}} $ }^{2}+7 }$

$3$\displaystyle{ =2{ $ x+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 2 \hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2} {5}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 4\cdot 2 \hspace{2}}+7 }$

$3$\displaystyle{ =2{ $ x+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2} {5}^{2}- 4\cdot 2\cdot 7 \hspace{2}}{\hspace{2} 4\cdot 2 \hspace{2}} }$

計算して整理した結果

$3$\displaystyle{ =2{ $ x+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ }^{2}+\frac{\hspace{2} 31 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }$

■具体例5

2次の項の係数が1以外の場合の具体例その2 方法はその1と同様

$3$\displaystyle{y=5{x}^{2}- 8x+12}$

$3$\displaystyle{ =5 $ {x}^{2}- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}x $ +12 }$

$3$\displaystyle{ =5 $ {x}^{2}- 2\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 5 \hspace{2}}x $ +12 }$

$3$\displaystyle{ =5 \{ {x}^{2}- 2\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 5 \hspace{2}}x+{ $ \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 5 \hspace{2}} $ }^{2}- { $ \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 5 \hspace{2}} $ }^{2} \} +12 }$

$3$\displaystyle{ =5 \{ {x}^{2}- 2\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 5 \hspace{2}}x+{ $ \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 5 \hspace{2}} $ }^{2} \} - 5{ $ \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 5 \hspace{2}} $ }^{2}+12 }$

$3$\displaystyle{ =5{ $ x- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 5 \hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2} {8}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 4\cdot 5 \hspace{2}}+12 }$

$3$\displaystyle{ =5{ $ x- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2} {8}^{2}- 4\cdot 5\cdot 12 \hspace{2}}{\hspace{2} 4\cdot 5 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =5{ $ x- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{2}+\frac{\hspace{2} 44 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$

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最終更新日 2023年5月27日