方程式の実数解の存在定理

関数 $3$\displaystyle{ y=f\left({x}\right) }$ が閉区間 $3$\displaystyle{\left[{ a,b }\right]}$ において連続で，かつ， $3$\displaystyle{f\left({a}\right)\cdot f\left({b}\right)< 0}$ ならば，開区間 $3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)}$ に方程式 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)=0}$ の実数解が少なくとも1つの存在する．

■解説

中間値の定理において， $3$\displaystyle{ k=0 }$ のときに相当する．

$3$\displaystyle{f\left({a}\right)\cdot f\left({b}\right)< 0}$ ならば， $3$\displaystyle{f\left({a}\right)}$ と $3$\displaystyle{f\left({b}\right)}$ の符号が異なり，関数 $3$\displaystyle{ y=f\left({x}\right) }$ が閉区間 $3$\displaystyle{\left[{ a,b }\right]}$ において連続であると， $3$\displaystyle{ y=f\left({x}\right) }$ のグラフは少なくとも1箇所 $3$x$ 軸と交差することになる．その交点座標の $3$x$ の値が方程式 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)=0}$ の実数解となる．以上の内容を以下に図で示す．

● $3$\displaystyle{f\left({a}\right)> 0}$ ， $3$\displaystyle{f\left({b}\right)< 0}$ の場合

図1　解が $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1} }$ の1つ
図2　解が $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{2} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{3} }$ の3つ

● $3$\displaystyle{f\left({a}\right)< 0}$ ， $3$\displaystyle{f\left({b}\right)> 0}$ の場合

図3　解が $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1} }$ の1つ
図4　解が $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{2} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{3} }$ の3つ

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最終更新日： 2025年4月25日

方程式の実数解の存在定理

■解説

● ， の場合

● ， の場合

● $3$\displaystyle{f\left({a}\right)> 0}$ ， $3$\displaystyle{f\left({b}\right)< 0}$ の場合

● $3$\displaystyle{f\left({a}\right)< 0}$ ， $3$\displaystyle{f\left({b}\right)> 0}$ の場合