原点を中としてにグラフを拡大移動した関数

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを原点を中心として $3$x$ 軸方向に $3$c$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$d$ 倍(拡大移動) したグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}}=f $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}} $ }$ 　･･････(1)

となる．

ポイント：原点を中心として $3$x$ 軸方向に $3$c$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$d$ 倍した関数とは元の関数の $3$x$ を $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}} }$ に， $3$y$ を $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}} }$ に書き換えたものになる．

■関連動画

■式の導出

グラフの拡大の考え方を具体的に説明する．

まず

$3$ y=x$ 　･･････(2)

の直線のグラフについて考える．

●原点を中心として $3$x$ 軸方向に拡大したグラフを表す関数

$3$\displaystyle{ y=x }$ のグラフを，原点を中心として $3$x$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数を求める．

原点を中心として $3$x$ 軸方向に3倍とは， $3$x$ 座標の値を3倍にすることである． $3$\displaystyle{ y=x }$ 上の点 $3$\text{P}$ がこの拡大変換により移動した先を点 $3$\text{Q}$ とし，点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の座標をそれぞれ $3$\displaystyle{ $ r,s $ }$ ， $3$ $ x,y $$ とする．点 $3$\text{Q}$ の $3$x$ 座標の値は点 $3$\text{P}$ の $3$x$ 座標の値 $3$r$ を3倍したものとなり，点 $3$\text{Q}$ の $3$y$ 座標の値は点 $3$\text{P}$ の $3$y$ 座標の値 $3$s$ のままである．すなわち

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}x=3r& \vspace{6}\\ y=s& \vspace{6}\\ \end{array} \text{ }\rightarrow \text{ } $ x,y $ = $ 3r,s $ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　･･････(3)

の関係がある．これは点 $3$\text{Q}$ を点 $3$\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $3$\text{P}$ の座標を，点 $3$\text{Q}$ の座標の値 $3$x$ ， $3$y$ を使って表すと

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}r=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}& \vspace{6}\\ s=y& \vspace{6}\\ \end{array} \text{ }\rightarrow \text{ } $ r,s $ = $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},y $ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　･･････(4)

となる．点 $3$\text{P}$ は $3$\displaystyle{ y=x }$ 上の点であるので

$3$\displaystyle{ r=s }$ 　･･････(5)

の関係がある．(5)の $3$r$ と $3$s$ に(4)の $3$\displaystyle{ r=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ s=y }$ の関係を代入すると

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ 　･･････(6)

となる．(6)は $3$x$ と $3$y$ の関係を表している．すなわち，この(6)が(2)の $3$\displaystyle{ y=x }$ のグラフを原点中心として $3$x$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数である．

ポイント：原点を中心に $3$x$ 軸方向に3倍した関数とは元の関数の $3$x$ を $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ に書き換えたものになる．

●原点を中心として $3$y$ 軸方向に拡大したグラフを表す関数

$3$\displaystyle{ y=x }$ のグラフを，原点を中心として $3$y$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数を求める．

　原点を中心として $3$y$ 軸方向に3倍とは， $3$y$ 座標の値を3倍にすることである． $3$\displaystyle{ y=x }$ 上の点 $3$\text{P}$ がこの拡大変換により移動した先を点 $3$\text{Q}$ とし，点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の座標をそれぞれ $3$\displaystyle{ $ r,s $ }$ ， $3$ $ x,y $$ とする．点 $3$\text{Q}$ の $3$x$ 座標の値は点 $3$\text{P}$ の $3$x$ 座標の値 $3$r$ のままであり，点 $3$\text{Q}$ の $3$y$ 座標の値は点 $3$\text{P}$ の $3$y$ 座標の値 $3$s$ を3倍したものである．すなわち

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}x=r& \vspace{6}\\ y=3s& \vspace{6}\\ \end{array} \text{ }\rightarrow \text{ } $ x,y $ = $ r,3s $ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　･･････(7)

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}r=x& \vspace{6}\\ s=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} \text{ }\rightarrow \text{ } $ r,s $ = $ x,\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　･･････(8)

となる．点 $3$\text{P}$ は $3$\displaystyle{ y=x }$ 上の点であるので

$3$\displaystyle{ r=s }$ 　･･････(5)

の関係がある．(5)の $3$r$ と $3$s$ に(4)の $3$\displaystyle{ r=x }$ ， $3$\displaystyle{ s=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ の関係を代入すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=x }$ 　･･････(9)

となる．(9)は $3$x$ と $3$y$ の関係を表している．すなわち，この(9)が(2)の $3$\displaystyle{ y=x }$ のグラフを原点を中心として $3$y$ 軸方向に3倍したグラフを表す関数である．

ポイント：原点を中心に $3$y$ 軸方向に3倍した関数とは元の関数の $3$y$ を $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ に書き換えたものになる．

以上の基本的な考え方を基にして

● $3$x$ 軸方向， $3$y$ 軸方向の拡大を組み合わせたグラフの関

$3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを原点を中心として $3$x$ 軸方向に $3$c$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$d$ 倍したグラフを表す関数を求める．

$3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ 上の点 Pがこの拡大変換により移動した先を点 $3$\text{Q}$ とし，点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の座標をそれぞれ $3$\displaystyle{ $ r,s $ }$ ， $3$ $ x,y $$ とする．点 $3$\text{Q}$ の $3$x$ 座標の値は点 $3$\text{P}$ の $3$x$ 座標の値 $3$r$ を $3$c$ 倍したものとなり，点 $3$\text{Q}$ の $3$y$ 座標の値は点 $3$\text{P}$ の $3$y$ 座標の値 $3$s$ を $3$d$ 倍したものである．すなわち

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}x=cr& \vspace{6}\\ y=ds& \vspace{6}\\ \end{array} \text{ }\rightarrow \text{ } $ x,y $ = $ cr,ds $ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　･･････(10)

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}r=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}}& \vspace{6}\\ s=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} \text{ }\rightarrow \text{ } $ r,s $ = $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}},\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}} $ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　･･････(11)

となる．点 $3$\text{P}$ は $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ 上の点であるので

$3$\displaystyle{ s=f $r$ }$ 　･･････(12)

の関係がある．(12)の $3$r$ ， $3$s$ に(11)の $3$\displaystyle{ r=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ s=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}} }$ の関係を代入すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}}=f $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}} $ }$ 　･･････(1)

となる．(1)は $3$x$ と $3$y$ の関係を表している．すなわち，この(1)が $3$ y=f $x$$ のグラフを原点を中心として $3$x$ 軸方向に $3$c$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$d$ 倍したグラフを表す関数である．

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>原点を中心にグラフを拡大移動した関数

最終更新日 2024年5月17日