グラフを原点に関して対称移動した関数

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを原点に関して対称移動たグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{ - y=f\left({ - x }\right) }$ 　･･････(1)

すなわち

$3$\displaystyle{y=- f\left({ - x }\right)}$ 　･･････(2)

となる．

ポイント：原点に関して対称移動した関数は元の関数の $3$x$ を $3$\displaystyle{- x}$ に， $3$y$ を $3$\displaystyle{- y}$ 書き換えたものになる．

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■式の導出

$3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数を求める．

$3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ 上の点 $3$\text{P}$ を原点に関して対称移動したものを点 $3$\text{Q}$ とし，点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の座標をそれぞれ $3$\displaystyle{ $ r,s $ }$ ， $3$ $ x,y $$ とする．点 $3$\text{Q}$ の $3$x$ 座標の値は点 $3$\text{P}$ の $3$x$ 座標の値 $3$r$ に $3$\displaystyle{\displaystyle{- 1}}$ を掛けたものとなり，点 $3$\text{Q}$ の $3$y$ 座標の値は点 $3$\text{P}$ の $3$y$ 座標の値 $3$s$ に $3$\displaystyle{\displaystyle{- 1}}$ を掛けたものとなる．すなわち

$3$\displaystyle{\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}x=- r& \vspace{6}\\ y=- s& \vspace{6}\\ \end{array}\text{\hspace{5}}\rightarrow \text{\hspace{5}}\left({ x,y }\right)=\left({ - r,- s }\right)}}$ 　　･･････(3)

備考：これは，グラフの拡大において，原点を中心として $3$x$ 軸方向に $3$\displaystyle{ - 1 }$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$\displaystyle{ - 1 }$ 倍した場合と同じである．

の関係がある．これは点 $3$\text{Q}$ を点 $3$\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $3$\text{P}$ の座標を，点 $3$\text{Q}$ の座標の値 $3$x$ ， $3$y$ を使って表すと

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}r=- x& \vspace{6}\\ s=- y& \vspace{6}\\ \end{array}\text{\hspace{5}}\rightarrow \text{\hspace{5}}\left({ r,s }\right)=\left({ - x,- y }\right)}$ 　･･････(4)

となる．点 $3$\text{P}$ は $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ 上の点であるので

$3$\displaystyle{ s=f $r$ }$ 　　･･････(5)

の関係がある．この(5)の $3$r$ と $3$s$ に(4)の関係を代入すると

$3$\displaystyle{ - y=f\left({ - x }\right) }$ 　･･････(1)

すなわち

$3$\displaystyle{y=- f\left({ - x }\right)}$ 　･･････(2)

が得られる．(2)は $3$x$ と $3$y$ の関係を表している．すなわち，この(2)が $3$ y=f $x$$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数である．

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最終更新日：2024年5月17日