ヘロンの公式

3辺の長さを， $3$a$ ， $3$b$ ， $3$c$ とすると，三角形の面積 $3$S$ は

$3$\displaystyle{S=\sqrt{ s\left({ s- a }\right)\left({ s- b }\right)\left({ s- c }\right) }}$

となる．ただし， $3$\displaystyle{s=\frac{\hspace{2} a+b+c \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ とする．

●参考

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \| { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow } \| }^{2}\cdot { \| { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } \| }^{2}- { $ { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } $ }^{2} }}$ ⇒導出

■導出

図のような三角形 $3$\text{ABC}$ を考える．線分 $3$\text{BC}$ の長さを $3$a$ ，線分 $3$\text{AC}$ の長さを $3$b$ ，線分 $3$\text{AB}$ の長さを $3$c$ とする．頂点 $3$\text{B}$ から線分 $3$\text{AC}$ に垂線を降ろし線分 $3$\text{AC}$ との交点を $3$\text{H}$ とする．三角形 $3$\text{ABC}$ の底辺を $3$\text{AA}$ とうすると，高さは線分 $3$\text{BH}$ となる．この場合，三角形の面積 $3$S$ は

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}b\left({ c\sin {\theta} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}bc\sin {\theta}}$ ･･････(1)

（∵ $3$\displaystyle{\text{BH}=c\sin {\theta}}$ ）

となる．(1)より

$3$\displaystyle{ {S}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{b}^{2}{c}^{2}{ \sin }^{2}{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{b}^{2}{c}^{2}\left({ 1- { \cos }^{2}{\theta} }\right) }$ ･･････(2)

となる．余弦定理より

$3$\displaystyle{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}- 2bc\cos {\theta}}$

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2} {b}^{2}+{c}^{2}- {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2bc \hspace{2}}}$ ･･････(3)

(3)を(2)に代入する．

$3$\displaystyle{{S}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{b}^{2}{c}^{2}\left{{ 1- { \left({ \frac{\hspace{2} {b}^{2}+{c}^{2}- {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2bc \hspace{2}} }\right) }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{b}^{2}{c}^{2}\left{{ \frac{\hspace{2} 4{b}^{2}{c}^{2}- { \left({ {b}^{2}+{c}^{2}- {a}^{2} }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 4{b}^{2}{c}^{2} \hspace{2}} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\left{{ 4{b}^{2}{c}^{2}- { \left({ {b}^{2}+{c}^{2}- {a}^{2} }\right) }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- {y}^{2}=\left({ x+y }\right)\left({ x- y }\right)}$ の関係を用いて式を変形する

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\left{{ 4{b}^{2}{c}^{2}+\left({ {b}^{2}+{c}^{2}- {a}^{2} }\right) }\right}\left{{ 4{b}^{2}{c}^{2}- \left({ {b}^{2}+{c}^{2}- {a}^{2} }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\left{{ 2bc- {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} }\right}\left{{ 2bc+{a}^{2}- {b}^{2}- {c}^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\left{{ {b}^{2}+2bc+{c}^{2}- {a}^{2} }\right}\left{{ {a}^{2}- {b}^{2}+2bc- {c}^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\left{{ { \left({ b+c }\right) }^{2}- {a}^{2} }\right}\left{{ {a}^{2}- { \left({ b- c }\right) }^{2} }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\left{{ \left({ b+c }\right)+a }\right}\left{{ \left({ b+c }\right)- a }\right}\left{{ a+\left({ b- c }\right) }\right}\left{{ a- \left({ b- c }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}\left{{ b+c+a }\right}\left{{ b+c- a }\right}\left{{ a+b- c }\right}\left{{ a- b+c }\right}}$

$3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2} b+c+a \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\left({ \frac{\hspace{2} b+c- a \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\left({ \frac{\hspace{2} a+b- c \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\left({ \frac{\hspace{2} a- b+c \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{s=\frac{\hspace{2} a+b+c \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ を代入する．

$3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2} b+a+c \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\left({ \frac{\hspace{2} a+b+c \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- a }\right)\left({ \frac{\hspace{2} a+b+c \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- c }\right)\left({ \frac{\hspace{2} a+b+c \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- b }\right)}$

$3$\displaystyle{=s\left({ s- a }\right)\left({ s- c }\right)\left({ s- b }\right)}$

$3$\displaystyle{=s\left({ s- a }\right)\left({ s- b }\right)\left({ s- c }\right)}$ ･･････(1)

したがって

$3$\displaystyle{S=\sqrt{ s\left({ s- a }\right)\left({ s- b }\right)\left({ s- c }\right) }}$

の関係が得られる．

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最終更新日： 2025年10月20日