三角形の面積

$3$\displaystyle{ {\Delta}\text{ABC} }$ の面積を $3$S$ とする

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{AB}\cdot \text{AC}\cdot \sin {\theta}}$ 　･･････(1)

となる．

ベクトルを用いて表すと

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \| { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow } \| }^{2}\cdot { \| { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } \| }^{2}- { $ { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } $ }^{2} }}$ 　･･････(2)

となる．この式は，頂点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}}$ ， $3$\displaystyle{\text{C}}$ の座標が与えられているときに便利である．

$3${\Delta}\text{ABC}$ が座標平面上にあり， $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{x}_{2},\hspace{1}{y}_{2} }\right)}$ とすると

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ \hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{y}_{2}- \hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{y}_{1} }\right|}$ 　･･････(3)

となる．

●参考

ヘロンの公式： $3$\displaystyle{S=\sqrt{ s\left({ s- a }\right)\left({ s- b }\right)\left({ s- c }\right) }}$
外積を用いた場合： $3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$

■導出方法

$3${\Delta}\text{ABC}$ のへ底辺を $3$\text{AB}$ ，高さを $3$\text{CD}$ とすると， $3${\Delta}\text{ABC}$ の面積 $3$S$ は

$3$\displaystyle{ S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{AB}\cdot \text{CD} }$ ･･････（4）

である．また，三角比の定義より

$3$\displaystyle{\text{CD}=\text{AC}\sin {\theta}}$ ･･････（5）

である．

(4)に(5)を代入すると

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{AB}\cdot \text{AC}\cdot \sin {\theta}}$

となり，(1)が得られる．

また

$3$\text{AB}= \| { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow } \|$ ， $3$\text{AC}= \| { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } \|$ ･･････（6）

内積の定義より

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2} { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \| { \text{AB} }\limits^{\longrightarrow } \| \cdot \| { \text{AC} }\limits^{\longrightarrow } \| \hspace{2}}}$ ･･････（7）

$3${\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1$ より

$3$\sin {\theta}=\sqrt{ 1- { \cos }^{2}{\theta} }$ ･･････（8）

である．

(1)に(6)を代入すると

(9)になり，さらに，(9)に(8)を代入すると

(10)になり，さらに，(10)に(7)を代入すると

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cdot \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|\sqrt{ 1- { \left({ \frac{\hspace{2} { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cdot \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right| \hspace{2}} }\right) }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cdot \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|\sqrt{ \frac{\hspace{2} { \left({ \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cdot \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right| }\right) }^{2}- { \left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cdot \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right| }\right) }^{2} \hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cdot \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|\frac{\hspace{2} \sqrt{ { \left({ \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cdot \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right| }\right) }^{2}- { \left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right) }^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cdot \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right| \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \left({ \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\cdot \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right| }\right) }^{2}- { \left({ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right) }^{2} }}$

となり(2)が得られる．

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ \hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{y}_{1}{ }^{2} }}$ 　･･････(11)

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ \hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}+\hspace{1}{y}_{2}{ }^{2} }}$ 　･･････(12)

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1} }\right)\cdot \left({ \hspace{1}{x}_{2},\hspace{1}{y}_{2} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{x}_{2}+\hspace{1}{y}_{1}\hspace{1}{y}_{2}}$ 　･･････(13)

(2)に(11)，(12)，(13)を代入する．

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ \left({ \hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{y}_{1}{ }^{2} }\right)\left({ \hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}+\hspace{1}{y}_{2}{ }^{2} }\right)- { \left({ \hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{x}_{2}+\hspace{1}{y}_{1}\hspace{1}{y}_{2} }\right) }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ \hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}\hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}+\hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}\hspace{1}{y}_{2}{ }^{2}+\hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}\hspace{1}{y}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{y}_{1}{ }^{2}\hspace{1}{y}_{2}{ }^{2}- \hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}\hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}- 2\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{y}_{1}\hspace{1}{y}_{2}- \hspace{1}{y}_{1}{ }^{2}\hspace{1}{y}_{2}{ }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ \hspace{1}{x}_{1}{ }^{2}\hspace{1}{y}_{2}{ }^{2}+\hspace{1}{x}_{2}{ }^{2}\hspace{1}{y}_{1}{ }^{2}- 2\hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{y}_{1}\hspace{1}{y}_{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { \left({ \hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{y}_{2}- \hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{y}_{1} }\right) }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ \hspace{1}{x}_{1}\hspace{1}{y}_{2}- \hspace{1}{x}_{2}\hspace{1}{y}_{1} }\right|}$

となり，(3)が得られた．

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最終更新日： 2025年10月31日