内積

■内積の定義

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角を $3${\theta}$ とするとき

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }= \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \cos {\theta}}$ 　･･････(1)

を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の内積という．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }}$ 代わりに $3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow },{b}\limits^{\rightarrow } $ }$ で表すこともある．

(1)より

$3$\displaystyle{\cos θ=\frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }·{b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
，　･･････(2)

アークコサイン(コサインの逆関数)を用いると

$3$\displaystyle{ {\theta}={ \cos }^{ - 1 }\left({ \frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| \hspace{2}} }\right) }$ 　･･････(3)

(3)が得られ， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角を $3${\theta}$ を求めることができる．

■内積の値の幾何学的検討

■基本ベクトルの内積の計算

■内積の成分表示

●平面ベクトルの場合

内積をベクトルの成分を用いて表す．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2} $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2} $ }$ とすると

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}}$

となる⇒導出．

●空間ベクトルの場合

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2},\hspace{1}{a}_{3} $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2},\hspace{1}{b}_{3} $ }$ とすると

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3}}$

となる⇒導出．

■内積の特徴

特に， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角が90°のとき

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=0}$

（平面ベクトルの場合： $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}=0}$ ，空間ベクトルの場合： $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3}=0}$ ）

となる．なぜならば，内積の定義より　

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos 90^\circ }$ $3$\displaystyle{=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\times 0=0}$

が得られる．⇒ ベクトルの直交条件

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最終更新日 2024年11月22日