逆関数

関数 $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ がある．この関数においては，変数 $3$x$ に対してただ1つの値 $3$y$ が定まる．逆に $3$y$ を決めると $3$x$ がただ1つ定まる場合がある．この場合， $3$x$ は $3$y$ の関数となり

$3$\displaystyle{x=g $y$ }$

と表わすとする．

関数を表すとき，一般的に変数に $3$x$ ，変数 $3$x$ に対応する値に $3$y$ を用いるので

$3$\displaystyle{y=g $x$ }$

と書き直す．この関数 $3$\displaystyle{g $x$ }$ を関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ の逆関数という．逆写像参照のこと．

関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ の逆関数を一般的に $3$\displaystyle{{f}^{ - 1 } $x$ }$ と表す．

関数 $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ において， $3$x$ と $3$y$ が1対1の対応になっている場合，関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ の逆関数 $3$\displaystyle{{f}^{ - 1 } $x$ }$ が存在し

$3$\displaystyle{y=f\left({x}\right)\Leftrightarrow x={f}^{ - 1 }\left({y}\right)}$

が成り立つ．

■事例

関数 $3$\displaystyle{y=2x}$ （右の図の青線）について逆関数を考えてみる．

変数 $3$x$ の値が1であれば， $3$y$ の値は2に定まる．逆に $3$y$ の値が4であれば， $3$x$ 値は2にただ1つ定まる．すなわち， $3$y$ を変数として $3$x$ を表すと

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}y}$

となる． $3$x$ と $3$y$ を入れ替えると

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x}$

となり，これが，関数 $3$\displaystyle{y=2x}$ の逆関数（下の図の赤線）になる．

関数 $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ のグラフとその関数の逆関数 $3$\displaystyle{y={f}^{ - 1 } $x$ }$ のグラフは直線 $3$\displaystyle{y=x}$ に関して対称である．

関数 $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ の場合は， $3$y$ の値4に対して $3$x$ は2と-2が対応し，1つに定まらない．よって， $3$x$ は $3$y$ 関数とならないが， $3$\displaystyle{x\geq 0}$ と定義域の範囲を定めると， $3$y$ に対してただ1つの $3$x$ が定まり逆関数が存在することになる．

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最終更新日 2023年12月5日