内積の値の幾何学的検討

■ $3$\displaystyle{0^\circ < {\theta}< 90^\circ }$ の場合

$3$\displaystyle{0^\circ < {\theta}< 90^\circ }$ の場合

2つのベクトル( $3${a}\limits^{\rightarrow }$ ， $3${b}\limits^{\rightarrow }$ ) の内積の値は正になる．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }> 0}$

図の青線正方形は， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を1辺とする正方形で，赤線正方形は， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を1辺とする正方形である．

青色で塗られた長方形の面積の大きさは

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }= \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left({ \left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta} }\right)}$

と解釈した場合の内積の値になる．
赤色で塗られた長方形の面積の大きさは

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }= \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\left({ \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta} }\right)\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|}$

と解釈した場合の内積の値になる．

$3$\displaystyle{90^\circ < {\theta}< 180^\circ }$ の場合

2つのベクトル( $3${a}\limits^{\rightarrow }$ ， $3${b}\limits^{\rightarrow }$ ) の内積の値は負になる．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }< 0}$

青色で塗られた長方形の面積の大きさは

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }= \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left({ \left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta} }\right)}$

と解釈した場合の内積の値の絶対値になる．
赤色で塗られた長方形の面積の大きさは

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }= \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\left({ \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta} }\right)\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|}$

と解釈した場合の内積の値の絶対値になる．

最終更新日 2025年7月30日