内積の成分表示

平面ベクトルの場合

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2} $ }$ , $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2} $ }$ とすると

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}}$

となる.
空間ベクトル場合
$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2},\hspace{1}{a}_{3} $ }$ , $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2},\hspace{1}{b}_{3} $ }$ とすると

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3}}$

となる

■導出計算

（余弦定理を用いた導出はこちらへ）

●平面ベクトル場合

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を基本ベクトル表示で表すと

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}}$

となる.同様に $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を基本ベクトル表示で表すと

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}}$

となる.

内積計算の基本式を用いると

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2} $ \cdot {b}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1} $ \cdot {b}\limits^{\rightarrow }+ $ \hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2} $ \cdot {b}\limits^{\rightarrow }}$ (結合法則より）

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{1} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}\cdot {b}\limits^{\rightarrow } $ +\hspace{1}{a}_{2} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}\cdot {b}\limits^{\rightarrow } $ }$ （定数倍の性質より）

$3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{1} \{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}\cdot $ \hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+ \hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2} $ \} }$ $3$\displaystyle{ + \hspace{1}{a}_{2} \{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}\cdot $ \hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+ \hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2} $ \} }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{1} \{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}\cdot $ \hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1} $ + \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}\cdot $ \hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2} $ \} }$ $3$\displaystyle{ + \hspace{1}{a}_{2} \{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}\cdot $ \hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1} $ + \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}\cdot $ \hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2} $ \} }$ （分配法則より）

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}}$ （基本ベクトルの内積の計算より）

●空間ベクトルの場合

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を基本ベクトル表示で表すと

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}+\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3}}$

となる．同様に $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を基本ベクトル表示で表すと

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}+\hspace{1}{b}_{3}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3}}$

となる．

内積計算の基本式を用いると

$3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{1} \{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}\cdot $ \hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+ \hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}+ \hspace{1}{b}_{3}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3} $ \} }$ $3$\displaystyle{ + \hspace{1}{a}_{2} \{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}\cdot $ \hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+ \hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}+ \hspace{1}{b}_{3}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3} $ \} }$ $3$\displaystyle{+ \hspace{1}{a}_{3} \{ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3}\cdot $ \hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}+\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}+\hspace{1}{b}_{3}\hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3} $ \} }$ (結合法則より）

$3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{1} \{ \hspace{1}{b}_{1} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}\cdot \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1} $ + \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}\cdot \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2} $ }$ $3$\displaystyle{+ \hspace{1}{b}_{3} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1}\cdot \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3} $ \} + \hspace{1}{a}_{2} \{ \hspace{1}{b}_{1} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}\cdot \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1} $ }$ $3$\displaystyle{+ \hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}\cdot \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2} $ + \hspace{1}{b}_{3} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2}\cdot \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3} $ \} }$ $3$\displaystyle{+ \hspace{1}{a}_{3} \{ \hspace{1}{b}_{1} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3}\cdot \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{1} $ +\hspace{1}{b}_{2} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3}\cdot \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{2} $ +\hspace{1}{b}_{3} $ \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3}\cdot \hspace{1}{{e}\limits^{\rightarrow }}_{3} $ \} }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3}}$ （基本ベクトルの内積の計算より）

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最終更新日 2025年4月26日