内積の成分表示 (余弦定理を用いた導出)

平面ベクトルの場合

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2} $ }$ , $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2} $ }$ とすると

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}}$

となる.
空間ベクトル場合
$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2},\hspace{1}{a}_{3} $ }$ , $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2},\hspace{1}{b}_{3} $ }$ とすると

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3}}$

となる

■解説動画

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■導出計算

●平面ベクトル場合

△ $3$\text{OAB}$ の余弦定理より

$3$\displaystyle{{\text{AB}}^{2}={\text{OA}}^{2}+{\text{OB}}^{2}- 2\cdot \text{OA}\cdot \text{OB}\cdot \cos {\theta}}$

$3$\displaystyle{\text{AB}=\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\text{=}\left|{ { \text{AO} }\limits^{\rightarrow }\text{+}{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$ $3$\displaystyle{=\left|{ - { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }\text{+}{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$ $3$\displaystyle{=\left|{ - {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }\right|}$ ， $3$\displaystyle{\text{OA}=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|}$ ， $3$\displaystyle{\text{OB}=\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|}$ と書きかえることができる（ベクトルの大きさを参照）．よって

$3$\displaystyle{{\left|{ - {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}}$ $3$\displaystyle{={\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|}^{2}+{\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|}^{2}- 2\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta}}$

これを $3$\displaystyle{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta}}$ について解く

$3$\displaystyle{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ { \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right| }^{2}+{ \left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| }^{2}- { \left|{ - {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }\right| }^{2} }\right)}$

ベクトルの大きさより

$3$\displaystyle{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|=\sqrt{ \hspace{1}{a}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{2}{ }^{2} }}$ ， $3$\displaystyle{\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|=\sqrt{ \hspace{1}{b}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{b}_{2}{ }^{2} }}$

$3$\displaystyle{- {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=- \left({ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2} }\right)+\left({ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \hspace{1}{b}_{1}- \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{b}_{2}- \hspace{1}{a}_{2} }\right)}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ - {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ { \left({ \hspace{1}{b}_{1}- \hspace{1}{a}_{1} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{b}_{2}- \hspace{1}{a}_{2} }\right) }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left[{ \left({ \hspace{1}{a}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{2}{ }^{2} }\right)+\left({ \hspace{1}{b}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{b}_{2}{ }^{2} }\right)- \left{{ { \left({ \hspace{1}{b}_{1}- \hspace{1}{a}_{1} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{b}_{2}- \hspace{1}{a}_{2} }\right) }^{2} }\right} }\right]}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 2\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+2\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}}$

●空間ベクトルの場合

△ $3$\text{OAB}$ の余弦定理より

$3$\displaystyle{{\text{AB}}^{2}={\text{OA}}^{2}+{\text{OB}}^{2}- 2\cdot \text{OA}\cdot \text{OB}\cdot \cos {\theta}}$

これを $3$\displaystyle{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta}}$ について解く

ベクトルの大きさより

$3$\displaystyle{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|=\sqrt{ \hspace{1}{a}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{2}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{3}{ }^{2} }}$ ， $3$\displaystyle{\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|=\sqrt{ \hspace{1}{b}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{b}_{2}{ }^{2}+\hspace{1}{b}_{3}{ }^{2} }}$

$3$\displaystyle{- {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=- \left({ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2},\hspace{1}{a}_{3} }\right)+\left({ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2},\hspace{1}{b}_{3} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \hspace{1}{b}_{1}- \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{b}_{2}- \hspace{1}{a}_{2},\hspace{1}{b}_{3}- \hspace{1}{a}_{3} }\right)}$ より

$3$\displaystyle{\left|{ - {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }\right|}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ \hspace{1}{b}_{1}- \hspace{1}{a}_{1} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{b}_{2}- \hspace{1}{a}_{2} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{b}_{3}- \hspace{1}{a}_{3} }\right) }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left[{ \left({ \hspace{1}{a}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{2}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{3}{ }^{2} }\right)+\left({ \hspace{1}{b}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{b}_{2}{ }^{2}+\hspace{1}{b}_{3}{ }^{2} }\right)- \left{{ { \left({ \hspace{1}{b}_{1}- \hspace{1}{a}_{1} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{b}_{2}- \hspace{1}{a}_{2} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{b}_{3}- \hspace{1}{a}_{3} }\right) }^{2} }\right} }\right]}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 2\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+2\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+2\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}+\hspace{1}{a}_{3}\hspace{1}{b}_{3}}$

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最終更新日 2025年4月30日