ベクトル

■項目

基本問題
内積（プリント教材：内積.pdf）
外積（プリント教材：外積.pdf）
直線の方程式
平面の方程式（プリント教材：平面の方程式.pdf）
その他

(******) 2つのベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 3,1 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 2,3 }\right)}$ のとき， $3$\displaystyle{2{a}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．また， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 13,3 }\right)}$ を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表せ． ⇒ 解答

(******) 点 $3$\displaystyle{\left({ 3,2 }\right)}$ と直線 $3$\displaystyle{ \left({ x,y }\right)=t\left({ 1,2 }\right)+\left({ 0,1 }\right) }$ の距離を求めよ． $3$t$ は媒介変数である． ⇒ 解答

(******) $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,3 }\right) }$ をベクトルの始点を中心として反時計回りに60°回転したベクトルを求めよ． ⇒ 解答

(******) $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,3 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }=\left({ 4t+3,2t- 1 }\right) }$ とする．⇒ 解答

[1] $3$t$ が $3$\displaystyle{- \infty}$ から $3$\displaystyle{+\infty}$ に変化したとき， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点の軌跡は直線を描く．どのような直線か答よ．

[2] $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が平行な関係になるときの $3$t$ の値を求めよ．

[3] $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が垂直な関係になるときの $3$t$ の値を求めよ

[ページトップ]

●内積

学習項目：内積，ベクトルの直交(垂直)条件

(*****) 2つのベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2} }\right)}$ の内積に関する次の等式を証明せよ.

$3$\displaystyle{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\cos {\theta}=\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{b}_{2}}$ ⇒ 解答

(*****) 平面ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ 5,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ - 1,\sqrt{3} $ }$ のなす角を求めよ．． ⇒ 解答

(*****) 平面ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=$1,3$}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=$2,4$}$ の内積を求めよ． ⇒ 解答

(*****) 平面ベクトル $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ 1,2 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ 3,1 $ }$ のなす角を求めよ． ⇒ 解答

(*****) 空間ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=$1,2,2$}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=$2,1,2$}$ の内積を求めよ． ⇒ 解答

(*****) 空間ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=$4,1,1$}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=$1,4,1$}$ のなす角を求めよ． ⇒ 解答

(*****) $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ 3,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ 1,2 $ }$ とするとき， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }+t{a}\limits^{\rightarrow }}$ が直交するような $3$\displaystyle{t}$ を求めよ． ⇒ 解答

(*****) $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=$- 4,3$}$ に垂直な単位ベクトルを求めよ． ⇒ 解答

(*****) 空間座標上の3点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ - 1,- 1,0 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}\left({ 1,3,4 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{C}\left({ 3,1,4 }\right)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ． ⇒ 解答

(*****) 空間座標上の3点 $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ 5,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }= $ t- 6,{t}^{2} $ }$ とするとき， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ が直交するような $3$\displaystyle{t}$ を求めよ． ⇒ 解答

[ページトップ]

●外積

学習項目：外積

(****) $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ 4,3,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ 2,- 1,1 $ }$ のベクトルの外積 $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } }$ を求めよ． ⇒ 解答

(****) $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ 4,1,3 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ 1,2,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {c}\limits^{\rightarrow }= $ 2,- 1,2 $ }$ の外積 $3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ． ⇒ 解答

(****) $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ 4,1,3 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ 1,2,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{ {c}\limits^{\rightarrow }= $ 2,- 1,2 $ }$ の外積 $3$\displaystyle{\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times \left({ {b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } }\right)}}$ を求めよ． ⇒ 解答

(****) 原点と空間上の２点 $3$\text{A}\left({ 4,3,1 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 2,1,2 }\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ． ⇒ 解答

(****) 空間上の3点 $3$\text{A}\left({ 4,1,3 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 1,2,1 }\right)$ ， $3$\text{C}\left({ 2,- 1,2 }\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ． ⇒ 解答

[ページトップ]

●直線の方程式

学習項目：直線の方程式

(**) 空間座標上の点 $3$\displaystyle{ \text{A}\left({ 1,2,1 }\right) }$ を通り，ベクトル $3$\displaystyle{\left({ 2,1,1 }\right)}$ に平行な直線の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(**) 空間上の2点 $3$\text{A}\left({ 2,3,1 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 5,5,3 }\right)$ を通る直線の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(**) 2つの平面 $3$\displaystyle{x+y+z=6}$ ， $3$\displaystyle{x- y+5z=4}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(**) ２つの直線 $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{1}x+\hspace{1}{n}_{1}}$ と $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{2}x+\hspace{1}{n}_{2}}$ （ $3$\hspace{1}{m}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{n}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{m}_{2}$ ， $3$\hspace{1}{n}_{2}$ は定数）が直交するとき， $3$\hspace{1}{m}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{m}_{2}$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ． ⇒ 解答

[ページトップ]

●平面の方程式

学習項目：平面の方程式

(***) 空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ 4,3,2 }\right)}$ を通り， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }= $ 2,4,5 $ }$ に垂直な平面の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(***) 空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A} $ 2,1,2 $ }$ ， $3$\displaystyle{ \text{B} $ 1,3,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{ \text{C} $ 1,- 1,2 $ }$ を通る平面の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(***) 空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ 2,3,- 4 }\right)}$ を通り， $3$\displaystyle{z}$ 軸に垂直な平面の方程式を求めよ． ⇒ 解答

(***) 平面 $3$\displaystyle{2x- 2y+z=5}$ に垂直な大きさ1のベクトルを求めよ． ⇒ 解答

(***) 平面 $3$\displaystyle{ x+2y+4z=21 }$ に，原点から垂線を降ろした．その垂線の長さを求めよ． ⇒ 解答

[ページトップ]

●その他

学習項目：

(*) 三角形 $3$\text{ABC}$ の頂点 $3$\text{A}$ ， $3$\text{B}$ ， $3$\text{C}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ とする．この三角形 $3$\text{ABC}$ の重心 $3$\text{G}$ の位置を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ を用いて表せ． ⇒ 解答