直線の方程式に関する問題

■問題

空間座標上の点 $3$\displaystyle{ \text{A}\left({ 1,2,1 }\right) }$ を通り，ベクトル $3$\displaystyle{\left({ 2,1,1 }\right)}$ に平行な直線の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=y- 2=z- 1 }$

■ヒント

点 $3$\displaystyle{ \text{P} $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $ }$ を通り，方向ベクトル $3$\displaystyle{ {d}\limits^{\rightarrow }= $ l,m,n $ }$ に平行な直線の方程式

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} x- \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}l\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}m\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} z- \hspace{1}{z}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }$

を用いる．

■解説

点Pの座標は $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $ = $ 1,2,1 $ }$ ，方向ベクトル $3$\displaystyle{{d}\limits^{\rightarrow }=$l,m,n$=$2,1,1$}$ より，これらの値を直線の方程式

に代入すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=y- 2=z- 1 }$

となる．これが，求める直線の方程式である．

●補足●

媒介変数 $3$\displaystyle{t}$ を用いた直線の方程式は

$3$\displaystyle{ x=\hspace{1}{x}_{0}+tl }$ ， $3$\displaystyle{ y=\hspace{1}{y}_{0}+tm }$ ， $3$\displaystyle{ z=\hspace{1}{z}_{0}+tn }$ 　　　　（媒介変数 $3$\displaystyle{t}$ を用いた直線の方程式)

と表わされる．すなわち，この問題の場合

$3$\displaystyle{ $ x,y,z $ = $ 1,2,1 $ +t $ 2,1,1 $ }$

となり

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}x=2t+1& \vspace{6}\\ y=t+2& \vspace{6}\\ z=t+1& \vspace{6}\\ \end{array}}$

となる．さらに

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}t=z- 1& \vspace{6}\\ t=y- 2& \vspace{6}\\ t=\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}& \vspace{6}\\ \end{array}}$

と式を変形し， $3$\displaystyle{t}$ 消去すると，直線方程式

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=y- 2=z- 1 }$

が得られる．

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最終更新日： 2025年1月15日