平面と直線の方程式に関する問題

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直線の方程式に関する問題
1. 空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ $3$\displaystyle{ $1,2,1$ }$ を通り，ベクトル $3$\displaystyle{ $2,1,1$ }$ に平行な直線の方程式を求めよ．　⇒解答*
2. 空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ $3$\displaystyle{ $2,3,1$ }$ を通り，ベクトル $3$\displaystyle{ $3,2,2$ }$ に平行な直線の方程式を求めよ．　⇒解答
3. 空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ $3$\displaystyle{ $1,1,1$ }$ を通り，ベクトル $3$\displaystyle{ $1,- 2,3$ }$ に平行な直線の方程式を求めよ．　⇒解答
4. 空間上の2点 $3$\text{A}\left({ 2,3,1 }\right)$ ， $3$\text{B}\left({ 5,5,3 }\right)$ を通る直線の方程式を求めよ．　⇒解答*
5. ２つの平面 $3$\displaystyle{ x+y+z=6 }$ , $3$\displaystyle{ x- y+5z=4 }$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．　⇒解答*
6. ２つの平面 $3$\displaystyle{x- 2y=4}$ , $3$\displaystyle{y- 3z=5}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．　⇒解答
7. ２つの直線 $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{1}x+\hspace{1}{n}_{1}}$ と $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{m}_{2}x+\hspace{1}{n}_{2}}$ （ $3$\hspace{1}{m}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{n}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{m}_{2}$ ， $3$\hspace{1}{n}_{2}$ は定数）が直交するとき， $3$\hspace{1}{m}_{1}$ ， $3$\hspace{1}{m}_{2}$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ．　⇒解答
平面の方程式に関する問題
1. 空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ 4,3,2 }\right)}$ を通り，ベクトル $3$\displaystyle{ {n}\limits^{\rightarrow }= $ 2,4,5 $ }$ に垂直な平面の方程式を求めよ．　⇒解答*
2. 空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ $3$\displaystyle{ $1,0,2$ }$ を通り，ベクトル $3$\displaystyle{ {n}\limits^{\rightarrow }= $ 1,3,2 $ }$ に垂直な平面の方程式を求めよ．　⇒解答
3. 空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A}$2,1,2$ }$ ， $3$\displaystyle{ \text{B}$1,3,1$ }$ ， $3$\displaystyle{ \text{C}$1,- 1,2$ }$ を通る平面の方程式を求めよ．　⇒解答*
4. 空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A}$1,1,- 2$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{B}$1,- 1,2$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{C}$2,2,1$ }$ を通る平面の方程式を求めよ．　⇒解答
5. 空間座標上の点 $3$\displaystyle{ \text{A}$2,3,- 4$ }$ を通り，z軸に垂直な平面の方程式を求めよ．　⇒解答*
6. 平面 $3$\displaystyle{2x- 2y+z=5}$ に垂直な大きさ1のベクトルを求めよ．　⇒解答*
7. 空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A}$2,1,2$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{B}$1,3,1$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{C}$1,- 1,2$ }$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答
8. 空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A}$- 1,- 1,0$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{B}$1,3,4$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{C}$3,1,4$ }$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答*
9. 空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A}$1,2,0$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{B}$3,0,1$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{C}$0,1,4$\hspace{5} }$ を通る平面の方程式を求めよ．　⇒解答
10. 空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A}$- 2,1,3$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{B}$- 3,1,4$ }$ , $3$\displaystyle{ \text{C}$- 3,3,5$ }$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．　⇒解答
11. 平面 $3$\displaystyle{ x+2y+4z=21 }$ に，原点から垂線を降ろした．その垂線の長さを求めよ．　⇒解答*
12. $3$\displaystyle{3}$ 点 $3$\displaystyle{\text{A} $ 3,1,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{\text{B} $ 2,0,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{\text{C} $ 0,1,1 $ }$ がある．以下の問に答えよ．　⇒解答*
  [1] $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．
  
  [2] $3$\displaystyle{\angle \text{BAC}={\theta}}$ とする． $3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ の値を求めよ．
  
  [3] $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ に平行で大きさが $3$\displaystyle{1}$ のベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{a}}$ を求めよ．
  
  [4] $3$\displaystyle{2}$ 点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．
  
  [5] $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．
  
  [6] $3$\displaystyle{3}$ 点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}}$ ， $3$\displaystyle{\text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．
  
  [7] $3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}}$ の面積を求めよ．
円の方程式に関する問題
1. 位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が $3$\displaystyle{ \left|{ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|=3 }$ を満たしている． $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,2 }\right)}$ のとき， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点が描く図形を答えよ．⇒解答*
2. 位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が $3$\displaystyle{ \left|{ 2{b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|=4 }$ を満たしている． $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,- 1 }\right)}$ のとき， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点が描く図形を答えよ．⇒解答*
3. 位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が $3$\displaystyle{\left|{ 2{b}\limits^{\rightarrow }- 3{a}\limits^{\rightarrow } }\right|=4}$ を満たしている． $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,1 }\right)}$ のとき， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点が描く図形を答えよ．⇒解答*
4. 点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ \left({ - 2,1 }\right) }$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ 4,3 }\right)}$ ，点 $3$\text{P}$ $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)}$ とする．たさし， $3$x$ ， $3$y$ は変数である．ベクトル方程式
  $3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{BP} }\limits^{\rightarrow }=0}$
  を満たす点 $3$\text{P}$ が描く図形を答よ．⇒解答*
その他
1. 座標平面において，点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ \left({ - 4,2 }\right) }$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ - 2,- 2 }\right)}$ ，点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ 4,- 1 }\right)}$ ，点 $3$\text{D}$ $3$\displaystyle{\left({ 5,6 }\right)}$ を頂点とする四角形の重心の座標を求めよ． ⇒解答
2. 点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ \left({ - 1,- 1,1 }\right) }$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ - 1,3,- 1 }\right)}$ ，点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ 1,3,- 2 }\right)}$ ，点 $3$\text{D}$ $3$\displaystyle{\left({ 3,3,3 }\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ． ⇒解答
3. 座標平面において，点 $3$\text{Q}$ と点 $3$\text{R}$ があり， $3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{q}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,2 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{r}\limits^{\rightarrow }=\left({ 4,3 }\right)}$ とする．ベクトル方程式が， $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=2s{q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ，ただし， $3$\displaystyle{s+t=1}$ のとき， $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ とすると点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ はどのような曲線(直線を含む)上にあるか答えよ． ⇒解答
4. 座標平面において，点 $3$\text{Q}$ と点 $3$\text{R}$ があり， $3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{q}\limits^{\rightarrow }=\left({ - 1,4 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{r}\limits^{\rightarrow }=\left({ 2,- 1 }\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ とする．
  $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=s{q}\limits^{\rightarrow }+t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{s+t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{s\geq 0}$ ， $3$\displaystyle{t\geq 0}$
  ⇒解答
5. 座標平面において，点 $3$\text{Q}$ と点 $3$\text{R}$ があり， $3$\displaystyle{{ \text{OQ} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{q}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,4 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{OR} }\limits^{\rightarrow }=}$ $3$\displaystyle{{r}\limits^{\rightarrow }=\left({ 3,1 }\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({{p}\limits^{\rightarrow }}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ とする．
  $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=s{q}\limits^{\rightarrow }+2t{r}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{s+t\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{s\geq 0}$ ， $3$\displaystyle{t\geq 0}$
  ⇒解答

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最終更新日： 2026年3月3日