平面の方程式の問題

■問題

２つの平面 $3$\displaystyle{x- 2y=4}$ , $3$\displaystyle{y- 3z=5}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 14 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 5 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=z}$

■解説

交線上の点 $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ は2の平面上の点であるから

$3$\displaystyle{x- 2y=4}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{y- 3z=5}$ 　･･････(2)

を同時にみたしている．

(1)+(2)×2より

$3$\displaystyle{x- 6z=14}$ ， $3$x=6z+14$

(2)より

$3$y=3z+5$

となる．ここで $3$\displaystyle{z=t}$ とおくことで

$3$\displaystyle{ $ x,y,z $ = $ 6t+14,3t+5,t $ }$ $3$\displaystyle{= $ 14,5,0 $ +t $ 6,3,1 $ }$

となる．直線は点 $3$\displaystyle{ $ 14,5,0 $ }$ を通り，ベクトル $3$\displaystyle{ $ 6,3,1 $ }$ に平行である．

よって求める直線の方程式は，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 14 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 5 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} z- 0 \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 14 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 5 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=z}$

となる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年1月15日