平面の方程式

点 $3$\text{P}$ $3$ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $$ を通り，法線ベクトルが $3${n}\limits^{\rightarrow }= $ a,b,c $$ の平面の方程式は

$3$a $ x- \hspace{1}{x}_{0} $ +b $ y- \hspace{1}{y}_{0} $ +c $ z- \hspace{1}{z}_{0} $ =0$

と表わされる．また，平面の方程式は一般に

$3$ax+by+cz+d=0$ （一般形）

と表される．このとき，平面の法線ベクトルは $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }= $ a,b,c $ }$ となる．

■平面の方程式の導出

平面は，空間中の点と平面に垂直な法線ベクトルが決まれば，一意的に決まる．平面上の点 $3$\text{P}$ の座標を $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $ }$ ，法線ベクトルを $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }= $ a,b,c $ }$ とし，平面上の任意の点 $3$\text{Q}$ の座標を $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ とすると，ベクトル $3$\displaystyle{{ \text{PQ} }\limits^{\longrightarrow }}$ は平面に含まれる． $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ は平面の法線ベクトルなので， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{ \text{PQ} }\limits^{\longrightarrow }}$ のなす角は90°である．よって内積がゼロとなるので

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{PQ} }\limits^{\longrightarrow }=0}$

となる．この関係から

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} $ a,b,c $ \cdot $ x- \hspace{1}{x}_{0},y- \hspace{1}{y}_{0},z- \hspace{1}{z}_{0} $ =0& \vspace{6}\\ a $ x- \hspace{1}{x}_{0} $ +b $ y- \hspace{1}{y}_{0} $ +c $ z- \hspace{1}{z}_{0} $ =0& \vspace{6}\\ \end{array}}$

となり，平面の方程式が求まる．

■平面の方程式の求め方のいろいろ】

●空間中の3点で決まる平面の方程式

空間中の3点を $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{a}_{x},\hspace{1}{a}_{y},\hspace{1}{a}_{z} $ }$ ， $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{b}_{x},\hspace{1}{b}_{y},\hspace{1}{b}_{z} $ }$ ， $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{c}_{x},\hspace{1}{c}_{y},\hspace{1}{c}_{z} $ }$ を含む平面の方程式の求め方．

●方法1

3点を含む平面上の点をP $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ とすると， $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\longrightarrow }}$ を用いて $3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\longrightarrow }}$ を表すと

$3$\displaystyle{m{ \text{AB} }\limits^{\longrightarrow }+n{ \text{AC} }\limits^{\longrightarrow }={ \text{AP} }\limits^{\longrightarrow }}$

となる． $3$\displaystyle{m}$ ， $3$\displaystyle{n}$ は媒介変数．これを座標で表すと

$3$\displaystyle{\displaystyle{m \{ $ \hspace{1}{b}_{x},\hspace{1}{b}_{y},\hspace{1}{b}_{z} $ - $ \hspace{1}{a}_{x},\hspace{1}{a}_{y},\hspace{1}{a}_{z} $ \} + } n \{ $ \hspace{1}{c}_{x},\hspace{1}{c}_{y},\hspace{1}{c}_{z} $ - $ \hspace{1}{a}_{x},\hspace{1}{a}_{y},\hspace{1}{a}_{z} $ \} }$ $3$\displaystyle{ = \{ $ x,y,z $ - $ \hspace{1}{a}_{x},\hspace{1}{a}_{y},\hspace{1}{a}_{z} $ \} }$

となり，整理すると

$3$\displaystyle{ $ m \( \hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x} $ + n $ \hspace{1}{c}_{x}- \hspace{1}{a}_{x} $ , }$ $3$\displaystyle{ m $ \hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y} $ + n $ \hspace{1}{c}_{y}- \hspace{1}{a}_{y} $ , }$ $3$\displaystyle{ m $ \hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z} $ + n $ \hspace{1}{c}_{z}- \hspace{1}{a}_{z} $ \) }$ $3$\displaystyle{ = $ x- \hspace{1}{a}_{x},y- \hspace{1}{a}_{y},z- \hspace{1}{a}_{z} $ }$

となる．各座標を比べると

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll} m $ \hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x} $ + n $ \hspace{1}{c}_{x}- \hspace{1}{a}_{x} $ =x- \hspace{1}{a}_{x} & \vspace{6}\\ m $ \hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y} $ + n $ \hspace{1}{c}_{y}- \hspace{1}{a}_{y} $ =y- \hspace{1}{a}_{y} & \vspace{6}\\ m $ \hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z} $ + n $ \hspace{1}{c}_{z}- \hspace{1}{a}_{z} $ =z- \hspace{1}{a}_{z} & \vspace{6}\\ \end{array} }$

となる．この関係式から， $3$\displaystyle{m}$ ， $3$\displaystyle{n}$ を消去すると平面の方程式が得られる．

●方法2

平面の方程式の一般形の $3$\displaystyle{ax+by+cz+d=0}$ に点 $3$\text{A}$ ，点 $3$\text{B}$ ，点 $3$\text{C}$ の座標を代入して得られる連立方程式

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}a\cdot \hspace{1}{a}_{x}+b\cdot \hspace{1}{a}_{y}+c\cdot \hspace{1}{a}_{z}+d=0& \vspace{6}\\ a\cdot \hspace{1}{b}_{x}+b\cdot \hspace{1}{b}_{y}+c\cdot \hspace{1}{b}_{z}+d=0& \vspace{6}\\ a\cdot \hspace{1}{c}_{x}+b\cdot \hspace{1}{c}_{y}+c\cdot \hspace{1}{c}_{z}+d=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

を解いても3点を含む平面の方程式を求めることができる．

●方法3

平面の法線ベクトル $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ を

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }= $ l,m,n $ }$

とする．

$3$\displaystyle{{ \text{A}\text{B} }\limits^{\rightarrow }\cdot {n}\limits^{\rightarrow }=0}$

$3$\displaystyle{{ \text{A}\text{C} }\limits^{\rightarrow }\cdot {n}\limits^{\rightarrow }=0}$

より， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }= $ l,m,n $ }$ を求める．

点 $3$\displaystyle{\text{A} $ \hspace{1}{a}_{x},\hspace{1}{a}_{y},\hspace{1}{a}_{z} $ }$ を通り，法線ベクトルが $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }= $ l,m,n $ }$ より，平面の方程式は

$3$\displaystyle{l $ x- \hspace{1}{a}_{x} $ +m $ y- \hspace{1}{a}_{y} $ +n $ z- \hspace{1}{a}_{z} $ =0}$

となる．

●方法4

平面の法線ベクトル $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ は外積を用いると

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }={ \text{A}\text{B} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{A}\text{C} }\limits^{\rightarrow }}$

となる．

法線ベクトル $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ が求まり，平面は点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ を通ることより，平面の方程式を求めることができる．

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最終更新日： 2025年4月22日