外積

■外積の定義

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の外積の定義を以下に示す（右図を参照のこと）．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の外積は $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }}$ と表わす．
$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }}$ はベクトルである．
ベクトルの大きさ $3$\displaystyle{ \| {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } \| }$ は
$3$\displaystyle{ \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \sin {\theta}}$
である．ただし， $3${\theta}$ は $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角である．言い換えると，ベクトルの大きさ $3$\displaystyle{ \| {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } \| }$ は $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を2辺とする平行四辺形OADBの面積にとなる．
ベクトルの向きは， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ に垂直で， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の始点を重ね $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を180°より小さい角度で $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ に重ねるために始点を回転の中心として回転させる方向に右ネジを回した時に右ネジが進む方向である．

■外積の成分表示　⇒

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{y},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{z} $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{x},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{b}_{y},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{b}_{z} $ }$ のとき

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{= $ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z},\text{\hspace{1}}\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} $ }$

■外積の基本的性質（計算則）

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }\times {a}\limits^{\rightarrow }=- $ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } $ }$ 交換法則は成り立たない　 ⇒　解説
$3$\displaystyle{\alpha $ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } $ = $ \alpha {a}\limits^{\rightarrow } $ \times {b}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }\times $ \alpha {b}\limits^{\rightarrow } $ }$ ⇒　解説
$3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }={a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times \left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)={a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }+{a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$

分配法則は成り立っている　⇒　解説
$3$\displaystyle{\left({ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } }\right)\times {c}\limits^{\rightarrow }=\left({ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {c}\limits^{\rightarrow } }\right){b}\limits^{\rightarrow }- \left({ {b}\limits^{\rightarrow }\cdot {c}\limits^{\rightarrow } }\right){a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times \left({ {b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } }\right)=\left({ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {c}\limits^{\rightarrow } }\right){b}\limits^{\rightarrow }- \left({ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } }\right){c}\limits^{\rightarrow }}$
よって

$3$\displaystyle{\left({ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } }\right)\times {c}\limits^{\rightarrow }\neq {a}\limits^{\rightarrow }\times \left({ {b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$

となり，結合法則は成り立たない　⇒　解説

■基本ベクトルの外積　⇒

$3$\displaystyle{\begin{array} \bullet \text{\hspace{1}}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow } & \vspace{6}\\ \bullet \text{\hspace{1}}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow } & \vspace{6}\\ \bullet \text{\hspace{1}}{ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow } & \vspace{6}\\ \end{array}}$ $3$\displaystyle{\begin{array} \bullet \text{\hspace{1}}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow } & \vspace{6}\\ \bullet \text{\hspace{1}}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow } & \vspace{6}\\ \bullet \text{\hspace{1}}{ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow } & \vspace{6}\\ \end{array}}$ $3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\bullet \text{\hspace{1}}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }={0}\limits^{\rightarrow }& \vspace{6}\\ \bullet \text{\hspace{1}}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }={0}\limits^{\rightarrow }& \vspace{6}\\ \bullet \text{\hspace{1}}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }={0}\limits^{\rightarrow }& \vspace{6}\\ \end{array}}$

■外積の計算の仕方　⇒

■行列式を用いた外積の計算　⇒

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\text{×}{b}\limits^{\rightarrow }= \| \begin{array} {i}\limits^{\rightarrow } & {j}\limits^{\rightarrow } & {k}\limits^{\rightarrow } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{x} & \hspace{1}{a}_{y} & \hspace{1}{a}_{z} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{x} & \hspace{1}{b}_{y} & \hspace{1}{b}_{z} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

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最終更新日 2025年4月27日

外積

■外積の定義

■外積の成分表示 ⇒

■外積の基本的性質（計算則）

■基本ベクトルの外積 ⇒

■外積の計算の仕方 ⇒

■行列式を用いた外積の計算 ⇒

■外積の成分表示　⇒

■基本ベクトルの外積　⇒

■外積の計算の仕方　⇒

■行列式を用いた外積の計算　⇒