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complex number	derivation	integration	probability	matrix	others

,

応用分野：外積，

基本ベクトルにおける外積

$基本ベクトル$ $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }}$ は $3$x$ 軸方向の基本ベクトル， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ は $3$y$ 軸方向の基本ベクトル， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }}$ は $3$z$ 軸方向の基本ベクトルとする．

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }}$

外積の定義より，

$3$\displaystyle{ { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow } }$ の大きさは

$3$\displaystyle{ \| { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow } \| = \| { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow } \| \| { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow } \| \sin 90^\circ }$ $3$\displaystyle{=1\times 1\times 1=1}$

$3$\displaystyle{ { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow } }$ の向きは
$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }}$ 方向　（ $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }}$ を原点Oを中心として $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$ に回転角度が180以下で回転させ重ねたとき右ネジの進む方向は $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }}$ 方向となるので．）

である．よって， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }}$ となる．
$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }={0}\limits^{\rightarrow }}$
$3$\displaystyle{ { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow } }$ の大きさは，2ベクトルのなす角が0°であるので， $3$\displaystyle{ \left|{ { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\left|{ { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left|{ { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow } }\right|\sin 0^\circ }$ $3$\displaystyle{ =1\times 1\times 0=0 }$
よって， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }={0}\limits^{\rightarrow }}$ となる．

以下同様にして

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }}$
$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }={ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$
$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }=- { \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }}$
$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }=- { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }}$
$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }=- { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$
$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }={0}\limits^{\rightarrow }}$
$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }\times { \hspace{1}{e}_{3} }\limits^{\rightarrow }={0}\limits^{\rightarrow }}$

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最終更新日 2025年4月26日