外積の大きさ

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角を $3$\displaystyle{{\theta}}$ とすると外積のベクトルの大きさ $3$\displaystyle{ \| {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } \| }$ は

$3$\displaystyle{ \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \sin {\theta}}$

となり， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を2辺とする平行四辺形の面積に相当する．

■証明

平行四辺形OADBの底辺OAの長さは $3$\displaystyle{ \|{a}\limits^{\rightarrow }\| }$ ，
高さBHは三角形OBHの三角比より $3$\displaystyle{ \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \sin {\theta}}$ となる．

よって，平行四辺形の面積 $3$S$ は，

$3$S$ ＝底辺×高さ＝ $3$\displaystyle{ \|{a}\limits^{\rightarrow }\| \|{b}\limits^{\rightarrow }\| \sin {\theta}}$

となる．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{a}_{x},\hspace{1}{a}_{y},\hspace{1}{a}_{z} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{b}_{x},\hspace{1}{b}_{y},\hspace{1}{b}_{z} }\right)}$ とすると

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y},\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z},\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }\right)}$

である（ここを参照）．

$3$\displaystyle{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\sin {\theta}=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\sqrt{ 1- { \cos }^{2}{\theta} }}$

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| \hspace{2}}}$ より

$3$\displaystyle{=\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\sqrt{ 1- { \left({ \frac{\hspace{2} {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| \hspace{2}} }\right) }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| }\right) }^{2}- { \left({ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } }\right) }^{2} }}$

$3$\displaystyle{{\left({ \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| }\right)}^{2}- {\left({ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } }\right)}^{2}}$ を $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の成分で表すことにする.

$3$\displaystyle{{\left({ \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| }\right)}^{2}- {\left({ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{=\left({ \hspace{1}{a}_{x}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{y}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{z}{ }^{2} }\right)\left({ \hspace{1}{b}_{x}{ }^{2}+\hspace{1}{b}_{y}{ }^{2}+\hspace{1}{b}_{z}{ }^{2} }\right)}$ $3$\displaystyle{- \left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{x}+\hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{y}+\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{z} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{x}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{x}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{x}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{y}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{x}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{z}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{y}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{x}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{y}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{y}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{y}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{z}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{z}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{x}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{z}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{y}{ }^{2}+\hspace{1}{a}_{z}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{z}{ }^{2}}$

$3$\displaystyle{- \left{{ { \left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{x} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{y} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{z} }\right) }^{2}+2\left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{x} }\right)\left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{y} }\right)+2\left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{y} }\right)\left({ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{z} }\right)+2\left({ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{z} }\right)\left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{x} }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{x}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{y}{ }^{2}- 2\left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{x} }\right)\left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{y} }\right)+\hspace{1}{a}_{y}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{x}{ }^{2}}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{x}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{z}{ }^{2}}$ $3$\displaystyle{- 2\left({ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{z} }\right)\left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{x} }\right)}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{z}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{x}{ }^{2}}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{y}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{z}{ }^{2}}$ $3$\displaystyle{- 2\left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{y} }\right)\left({ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{z} }\right)}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{a}_{z}{ }^{2}\hspace{1}{b}_{y}{ }^{2}}$

$3$\displaystyle{={\left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }\right)}^{2}+{\left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{+{\left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y} }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{={\left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y} }\right)}^{2}+{\left({ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{+{\left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }\right)}^{2}}$

よって

$3$\displaystyle{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|\sin {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }\right) }^{2} }}$

となる．すなわち， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }}$ の大きさは $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を2辺とする平行四辺形の面積の値になっている．

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最終更新日 2025年4月22日