行列式を用いた外積の計算

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x},\hspace{1}{a}_{y},\hspace{1}{a}_{z} $ }$

$3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{x},\hspace{1}{b}_{y},\hspace{1}{b}_{z} $ }$

$3$\displaystyle{ {i}\limits^{\rightarrow } }$ : $3$\displaystyle{x}$ 軸の基本ベクトル

$3$\displaystyle{ {j}\limits^{\rightarrow } }$ : $3$\displaystyle{y}$ 軸の基本ベクトル

$3$\displaystyle{ {k}\limits^{\rightarrow } }$ : $3$\displaystyle{z}$ 軸の基本ベクトル

とする． $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\text{\times }{b}\limits^{\rightarrow } }$ の外積を以下のように書き換えて行列式を用いて表わす．

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\text{\times }{b}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y},\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z},\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} $ }$

基本ベクトル表示にすると

$3$\displaystyle{ = $ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y} $ {i}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ + $ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z} $ {j}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ + $ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} $ {k}\limits^{\rightarrow } }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }$ を行列式を用いて表すと

$3$\displaystyle{ = \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{y} & \hspace{1}{a}_{z} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{y} & \hspace{1}{b}_{z} & \vspace{6}\\ \end{array} \| {i}\limits^{\rightarrow }+ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{z} & \hspace{1}{a}_{x} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{z} & \hspace{1}{b}_{x} & \vspace{6}\\ \end{array} \| {j}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ + \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{x} & \hspace{1}{a}_{y} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{x} & \hspace{1}{b}_{y} & \vspace{6}\\ \end{array} \| {k}\limits^{\rightarrow } }$

行列式の行または列の入れ替えの性質 $3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{z} & \hspace{1}{a}_{x} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{z} & \hspace{1}{b}_{x} & \vspace{6}\\ \end{array} \| =- \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{x} & \hspace{1}{a}_{z} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{x} & \hspace{1}{b}_{z} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ より

$3$\displaystyle{ = \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{y} & \hspace{1}{a}_{z} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{y} & \hspace{1}{b}_{z} & \vspace{6}\\ \end{array} \| {i}\limits^{\rightarrow }- \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{x} & \hspace{1}{a}_{z} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{x} & \hspace{1}{b}_{z} & \vspace{6}\\ \end{array} \| {j}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ + \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{x} & \hspace{1}{a}_{y} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{x} & \hspace{1}{b}_{y} & \vspace{6}\\ \end{array} \| {k}\limits^{\rightarrow } }$

$3$\displaystyle{ {i}\limits^{\rightarrow },{j}\limits^{\rightarrow },{k}\limits^{\rightarrow } }$ を3次の行列式の1行の成分と考え、上式を3次の行列式の1行での余因子展開の式とみなすと

$3$\displaystyle{ = \| \begin{array} {i}\limits^{\rightarrow } & {j}\limits^{\rightarrow } & {k}\limits^{\rightarrow } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{x} & \hspace{1}{a}_{y} & \hspace{1}{a}_{z} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{x} & \hspace{1}{b}_{y} & \hspace{1}{b}_{z} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

となる.

すなわち

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\text{\times }{b}\limits^{\rightarrow }= \| \begin{array} {i}\limits^{\rightarrow } & {j}\limits^{\rightarrow } & {k}\limits^{\rightarrow } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{x} & \hspace{1}{a}_{y} & \hspace{1}{a}_{z} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{b}_{x} & \hspace{1}{b}_{y} & \hspace{1}{b}_{z} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

となる.

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最終更新日： 2025年5月14日