$3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$

外積の分配法則が成り立つのを図を使い簡単に説明する．

点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ を通り $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ に平行な直線に点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ からおろした垂線の足を点 $3$\displaystyle{{\text{A}}^{\prime }}$ とすると，平行四辺形 $3$\displaystyle{ \text{OAEC} }$ の面積＝長方形 $3$\displaystyle{\text{O}{\text{A}}^{\prime }{\text{E}}^{\prime }\text{C}}$ の面積となる．よって

$3$\displaystyle{{\text{OA}}^{\prime }=\frac{\hspace{2} \| {a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}}{\hspace{2} \|{c}\limits^{\rightarrow }\| \hspace{2}}}$

（平行四辺形 $3$\displaystyle{ \text{OAEC} }$ の面積＝ $3$\displaystyle{ \| {a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } \| }$ ，長方形 $3$\displaystyle{\text{O}{\text{A}}^{\prime }{\text{E}}^{\prime }\text{C}}$ の面積＝ $3$\displaystyle{ \|{c}\limits^{\rightarrow }\| {\text{OA}}^{\prime }}$ より）

となる．同様にして

$3$\displaystyle{{\text{OB}}^{\prime }=\frac{\hspace{2} \| {b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}}{\hspace{2} \|{c}\limits^{\rightarrow }\| \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{{\text{OD}}^{\prime }=\frac{\hspace{2} \| $ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}}{\hspace{2} \|{c}\limits^{\rightarrow }\| \hspace{2}}}$

となる．

$外積$
$外積$
$外積$

また， $3$\displaystyle{\text{O}{\text{A}}^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\text{O}{\text{B}}^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\text{O}{\text{D}}^{\prime }}$ は $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ に垂直で， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }}$ も $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }}$ に垂直である．よって， $3$\displaystyle{\text{O}{\text{A}}^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\text{O}{\text{B}}^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{\text{O}{\text{D}}^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }}$ は同一平面上にある．

さらに，外積の定義より， $3$\displaystyle{\text{O}{\text{A}}^{\prime }}$ と $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{\text{O}{\text{B}}^{\prime }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{\text{O}{\text{D}}^{\prime }}$ と $3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }}$ は垂直な関係である．

以上より，下図を参照すると，平行四辺形 $3$\displaystyle{\text{O}{\text{A}}^{\prime }{\text{D}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }}$ を点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ を中心として90°時計方向に回転し， $3$\displaystyle{ \|{c}\limits^{\rightarrow }\| }$ 倍したものが平行四辺形 $3$\displaystyle{\text{OHIJ}}$ となる．

したがって，

$3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }={a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$

となる．

$外積$
$外積$

● $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times \left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)={a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }+{a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$ について

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times \left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ $3$\displaystyle{=- \left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)\times {a}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=- \left{{ \left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)\times {a}\limits^{\rightarrow } }\right}}$

$3$\displaystyle{=- \left({ {b}\limits^{\rightarrow }\times {a}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow }\times {a}\limits^{\rightarrow } }\right)}$

$3$\displaystyle{=- {b}\limits^{\rightarrow }\times {a}\limits^{\rightarrow }- {c}\limits^{\rightarrow }\times {a}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }+{a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>外積>> $3$\displaystyle{ $ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } $ \times {c}\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$

最終更新日 2023年2月20日

● について

● $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\times \left({ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } }\right)={a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }+{a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow }}$ について