空間における直線の方程式

点 $3$\text{P}$ $3$ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $$ を通り，方向ベクトルが $3${d}\limits^{\rightarrow }= $ l,m,n $$ の直線の方程式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}l\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}m\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} z- \hspace{1}{z}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$

と表わされる．また，媒介変数（パラメーター） $3$t$ を用いて表すと

$3$x=\hspace{1}{x}_{0}+tl$ ， $3$y=\hspace{1}{y}_{0}+tm$ ， $3$z=\hspace{1}{z}_{0}+tn$

と表される．このような直線の方程式の表現方法を媒介変数表示という．

座標平面での直線の方程式はここを参照．

■直線の方程式の導出

直線は，空間（座標空間）中の点と方向ベクトルが決まれば，一意的に決まる．空間中の点 $3$\text{P}$ の座標を $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $ }$ ，方向ベクトルを $3$\displaystyle{ {d}\limits^{\rightarrow }= $ l,m,n $ }$ とし，直線上の点 $3$\text{Q}$ の座標を $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ とすると

$3$\displaystyle{{ \text{PQ} }\limits^{\longrightarrow }=t{d}\limits^{\rightarrow }}$ （ $3$\displaystyle{t}$ は媒介変数）

となるので

$3$\displaystyle{ { \text{OQ} }\limits^{\rightarrow } ={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{PQ} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ ={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }+t{d}\limits^{\rightarrow } }$

と表すことができる．これをベクトルの成分表示で表すと

$3$\displaystyle{ $ x,y,z $ = $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0},\hspace{1}{z}_{0} $ +t $ l,m,n $ }$

あるいは

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}x=\hspace{1}{x}_{0}+tl& \vspace{6}\\ y=\hspace{1}{y}_{0}+tm& \vspace{6}\\ z=\hspace{1}{z}_{0}+tn& \vspace{6}\\ \end{array} }$

となり，媒介変数を用いた直線の方程式が求まる．次に媒介変数 $3$\displaystyle{t}$ の消去を図る．

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} x=\hspace{1}{x}_{0}+tl &\rightarrow & t=\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}l\hspace{2}}} & \vspace{6}\\ y=\hspace{1}{y}_{0}+tm &\rightarrow & t=\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}m\hspace{2}}} & \vspace{6}\\ z=\hspace{1}{z}_{0}+tn &\rightarrow & t=\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \hspace{1}{z}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}} & \vspace{6}\\ \end{array}}$

となり， $3$\displaystyle{t}$ を消去すると

となる．このように直線の方程式が求まる．

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最終更新日： 2024年12月5日