ベクトルの成分表示

$基本ベクトル表示$
図1

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\hspace{1}{a}_{x}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\rightarrow }+\hspace{1}{a}_{y}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\rightarrow }}$

と基本ベクトル表示で表されたベクトルを

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x},\hspace{1}{a}_{y} $ }$

のように表すことをベクトルの成分表示という．

ベクトルの大きさ $3$\displaystyle{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|=a}$ と， $3$\displaystyle{x}$ と $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ を用いると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{x}=a\cos {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{y}=a\sin {\theta}}$

となり

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ a\cos {\theta},a\sin {\theta} }\right)}$

となる．

図2

■図2の $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ の成分表示

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ の始点が原点と重なるようにを平行移動したものを， $3$\displaystyle{{{a}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }}$ とすると

$3$\displaystyle{{{a}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }={a}\limits^{\rightarrow }}$ （ベクトルの相等）　･･････(1)

である．点 $3$\displaystyle{{\text{Q}}^{\prime }}$ の座標を $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{{q}^{\prime }}_{x},\hspace{1}{{q}^{\prime }}_{y} }\right)}$ とすると

$3$\displaystyle{{{a}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{{q}^{\prime }}_{x},\hspace{1}{{q}^{\prime }}_{y} }\right)}$

となる．一方

$3$\displaystyle{{{a}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }={c}\limits^{\rightarrow }+\left({ - {{b}^{\prime }}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ $3$\displaystyle{={c}\limits^{\rightarrow }- {{b}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }}$ 　（逆ベゥトル，ベクトルの和）　･･････(2)

$3$\displaystyle{{{b}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }={b}\limits^{\rightarrow }}$ 　（ベクトルの相等）　･･････(3)

(2)，(3)より

$3$\displaystyle{{{a}^{\prime }}\limits^{\rightarrow }={c}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }}$ 　･･････(4)

(1)，(4)より

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }={c}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }}$

となる．点 $3$\text{P}$ の座標を $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{p}_{x},\hspace{1}{p}_{y} }\right)}$ ，点 $3$\text{Q}$ の座標を $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{q}_{x},\hspace{1}{q}_{y} }\right)}$ とすると

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{p}_{x},\hspace{1}{p}_{y} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{q}_{x},\hspace{1}{q}_{y} }\right)}$

より

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{q}_{x},\hspace{1}{q}_{y} }\right)- \left({ \hspace{1}{p}_{x},\hspace{1}{p}_{y} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \hspace{1}{q}_{x}- \hspace{1}{p}_{x},\hspace{1}{q}_{y}- \hspace{1}{p}_{y} }\right)}$

となる．

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最終更新日：2025年10月7日

ベクトルの成分表示

■図2の の成分表示

■図2の $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ の成分表示