平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ 1,0,2 }\right)}$ を通り， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }= $ 1,3,2 $ }$ に垂直な平面の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ x+3y+2z=5 }$

■ヒント

点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ を通り， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ に垂直な平面上の点を $3$\displaystyle{\text{P}}$ とする．

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ は平面の法線ベクトルなので， $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{ { \text{AP} }\limits^{\longrightarrow } }$ のなす角は90°となり，

内積は0となる．

よって

$3$\displaystyle{\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AP} }\limits^{\rightarrow }=0}}$ (法線ベクトルを参照)

を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AP} }\limits^{\rightarrow }=0}$ （点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ の座標を $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ とする）

$3$\displaystyle{ $ 1,3,2 $ \cdot $ x- 1,y,z- 2 $ =0 }$

$3$\displaystyle{ $ x- 1 $ +3y+2 $ z- 2 $ =0 }$

$3$\displaystyle{ x+3y+2z=5 }$

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年12月1日