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平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点 $3$\displaystyle{ \text{A} \( 2,1,2 \) }$ ， $3$\displaystyle{ \text{B} \( 1,3,1 \) }$ ， $3$\displaystyle{ \text{C} \( 1,- 1,2 \) }$ を通る平面の方程式を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ 2x- y- 4z+5=0 }$

■ヒント

点 $3$\displaystyle{ \text{A} \( \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1},\hspace{1}{z}_{1} \) }$ を通り，法線ベクトル $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }=\(a,b,c\)}$ の平面の方程式

$3$\displaystyle{ ax+by+cz+d=0 }$

を用いる．

■解説　（別解1，別解2）

平面の方程式を

$3$\displaystyle{ ax+by+cz+d=0 }$ ･･････(1)

とすると

$3$\displaystyle{ 2a+b+2c+d=0 }$ ･･････(2)　（ $3$\displaystyle{ \text{A} \( 2,1,2 \) }$ が平面上にあるから）

$3$\displaystyle{ a+3b+c+d=0 }$ ･･････(3)　( $3$\displaystyle{ \text{B} \( 1,3,1 \) }$ が平面上にあるから ) 　　　　　

$3$\displaystyle{ a- b+2c+d=0 }$ ･･････(4)　( $3$\displaystyle{ \text{C} \( 1,- 1,2 \) }$ が平面上にあるから)

これら3式の連立方程式を解く

(3)-(4)より

$3$\displaystyle{4b- c=0}$ ， $3$\displaystyle{c=4b}$ ･･････(5)

(2)-(3)より

$3$\displaystyle{a- 2b+c=0}$ ･･････(6)

(5)に(6)を代入すると

$3$\displaystyle{a- 2b+4b=0}$ ， $3$\displaystyle{a=- 2b}$ ･･････(7)

(5)，(7)を(4)に代入すると

$3$\displaystyle{- 2b- b+2\left({ 4b }\right)+d=0}$ ， $3$\displaystyle{d=- 5b}$ ･･････(8)

(5)，(7)，(8)をまとめると

$3$\displaystyle{ a=- 2b,c=4b,d=- 5b }$

という結果が得られる．

これらを，平面の方程式(1)に代入すると

$3$\displaystyle{ - 2bx+by+4bz- 5b=0 }$

となる．両辺を $3$\displaystyle{ - b }$ で割ると平面の方程式

$3$\displaystyle{ 2x- y- 4z+5=0 }$

が求まる．

■3Dグラフ

x，yのスライダーを動かすと点 $3$\text{P}$ が平面上を移動する．

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月18日